Question

已知函数f（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|.（1）求不等式f（x）≤6的解集；（）若关于x的不等式f（x）＜a的解...

已知函数f（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|.（1）求不等式f（x）≤6的解集；（）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围.

Answer 1

∵f(x)≤6
∴|2x+1|+|2x-3|≤6
当x≤-1/2时原不等式可化为-2x-1-2x+3=2-4x≤6 解得x≥-1
当-1/2<x≤3/2时原不等式可化为f(x)=4<6
当x>3/2时原不等式可化为2x+1+2x-3=4x-2≤6 解得x≤2
综上所述解集为{x|-1≤x≤2}
f(x)=|2x+1|+|2x-3|
当x≤-1/2时f(x)=-2x-1-2x+3=2-4x≥4
当-1/2<x≤3/2时f(x)=4
当x>3/2时f(x)=2x+1+2x-3=4x-2>4
所以f(x)的值域为f(x)≥4
若f(x)<a的解集不是空集,则a的取值范围为a>4

Answer 2

f（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|
1. x>=3/2
f(x)=2x+1+2x-3<=6
4x<=8
x<=2
即
3/2<=x<=2
2. -1/2<=x<3/2
f(x)=2x+1-2x+3<=6
4<=6

即
-1/2<=x<3/2
3. x<-1/2
-2x-1-2x+3<=6
-4x<=4
x>=-1
-1<=x<-1/2
所以
不等式f（x）≤6的解集为：
-1<=x<=2

(2)f（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|
从刚才的讨论发现
f(x)>=4
所以
若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，
a>4

Answer 3

解

见图

Answer 4

（1） |2x＋1|＋|2x－3|≤6
当x≥3/2时，
2x+1+2x-3≤6
x≤2
∴3/2≤x≤2
当-1/2<x<3/2时，
2x+1-2x+3≤6
4≤6
∴无解
当x≤-1/2时，
-(2x+1)-(2x-3)≤6
x≥-1
∴-1≤x≤-1/2
因此，x的解集：3/2≤x≤2，或-1≤x≤-1/2
（2）当x≥3/2时，
|2x＋1|＋|2x－3|=2x+1+2x-3=4x-2≥4
当-1/2<x<3/2时，
|2x＋1|＋|2x－3|=2x+1-2x+3=4
当x≤-1/2时，
|2x＋1|＋|2x－3|=-(2x+1)-(2x-3)=-4x+2≥4
∵f(x)的最小值为4
∴a≥4

Answer 5

A:f（x）|x<-1/2 =-4x+2
B:f（x）|-1/2<=x<=3/2 =4
C:f（x）|x>3/2 =4x+4

1. 由A: f（x）≤6
-4x+2≤6
x>=-1且x<-1/2 满足
由B得
-1/2<=x<=3/2 满 足
由C得 4x+4≤6
X≤1/2且x>3/2 无满足区间
所以第一个答案-1<=x<=3/2

2.f（x）在区间-1/2<=x<=3/2有极小值4
则a>4即有解集