Question

已知向量组a1,a2,a3,线性无关，证明：向量组a1+a2,a2+a3,a3+a1，线性无关

Answer 1

假设：a1＋a2、a2＋a3、a3＋a1是线性相关的，则：
a3＋a1=m(a1＋a2)＋n(a2＋a3)
(m－1)a1＋(m＋n)a2＋(n－1)a3=0
因a1、a2、a3线性无关，则：
m－1=0且m＋n=0且n－1=0
但这个方程组无解，从而有：
a1＋a2、a2＋a3、a3＋a1是线性无关的。

Answer 2

k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a1)=0
(k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=0
=>
k1+k3=0 (1) and
k1+k2=0 (2) and
k2+k3=0 (3)
=> k1=k2=k3=0
=>向量组a1+a2,a2+a3,a3+a1，线性无关