Question

已知函数f（x）＝（1－ax╱1＋x）e∧x.（1）若函数f（x）在x＝0处的切线与直线y＝x垂直，求a的值；（2...

已知函数f（x）＝（1－ax╱1＋x）e∧x.（1）若函数f（x）在x＝0处的切线与直线y＝x垂直，求a的值；（2）若对任意x＞0，恒有f（x）＞1，求a的取值范围。

Answer 1

f ’（x）=（-a（1-x)-(1-ax))/(1+x)^2 *e^x+（1－ax╱1＋x）e^x
因为f（x）在x＝0处的切线与直线y＝x垂直
所以f ‘（0）=-1 （切线与直线的斜率之积为-1）
得出：a=1
（2）因为f（0）=1
且e^x函数是单调递增的且e^0=1
所以只要1－ax╱1＋x >1 就有f(x)>1
又因x>0所以有1－ax>1+x
-ax>x
所以a<0

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Answer 2

（1）函数f（x）在x＝0处的切线与直线y＝x垂直，即窃喜的斜率为-1；
因为f `(x)=[1-ax/(1+x)]`e^x+[1-ax/(1+x)]e^x=[1-ax/(1+x)-a/(1+x)²]e^x
f `(0)=(1-a)×1=1-a=-1; a=2
(2)x>0时，不等式f(x)>1即：[1-ax/(x+1)]e^x>1;即：(1+x-ax)e^x>1+x;
亦即：1+x-ax>(1+x)/e^x; ax<(1+x)[1-1/e^x]; a<(1+1/x)(1-1/e^x)
设g(x)=(1+1/x)(1-1/e^x), x>0;
因为x>0, e^x>1; 0<1/e^x<1所以1-1/e^x>0且无限趋近于0，则g(x)无限趋近于0且大于0；
所以只需a≤0即可。