Question

一个关于数学函数的题目 跪求解答

已知函数f(x)=(a-1/2)x^2+lnx (a属于R) 若在区间（1，+∞）上，函数f（x）de 图象恒在y=2ax下方 求a的取值范围

Answer 1

f(x) 的图像恒在 y=2ax 下方，即
(a - 0.5) x² + lnx < 2ax
(0.5 - a) x² + 2ax > lnx
在区间 (1,+∞) 上，lnx > 0，因此有
(0.5 - a)x² + 2ax > 0
抛物线 (0.5 - a)x² + 2ax 开口向上，0.5 - a > 0，即 a<0.5
此时 (0.5 - a)x² + 2ax = 0 的两个根是 x1=0，x2=2a/(a-0.5)
不等式 (0.5 - a)x² + 2ax > lnx （ln1=0）要恒成立，必须满足这两个零点均不大于 1
x1 = 0 < 1
x2 = 2a/(a-0.5) <= 1
即 a >=-0.5
a = 0.5 时，f(x) = lnx，y = x，在区间 (1,+∞) 上，lnx < x 恒成立，即 f(x) 恒在 y=2ax 下方
因此所求 a 的取值范围是 [-0.5, 0.5]

Answer 2

构造函数（a-1/2)x^2+lnx<=2ax
左右同时除以x得lnx/x<=a+1/2
g(x)=lnx/x
g'(x)=1-lnx/x^2
求出其在1到正无穷的增减性，可知在x=e处取最大值，
最后得出只需lne/e<=a+1/2即可，可以解出来了，如果有不明白的可以继续问啊，加油

Answer 3

“函数f（x）de 图象恒在y=2ax下方 ”一般可写成g(x)=2ax-f（x）>0，然后求g(x)最小值且要大于0，因为有lnx在里面，所以只可以进行求导！！！！

Answer 4

根据提供的条件可知在(1,+∞）上恒有 (a-1/2)x^2+lnx<2ax 即(1/2-a)x^2+2ax>lnx 考察不等式左侧，可知当二次项的系数小于0，亦即a>1/2时 不等式左侧在x趋向无穷大时趋向于负无穷，显然不符合题意。当二次项的系数等于0时，亦即a=1/2时 ，不等式化为 x>lnx 显然在题目的条件下恒成立，所以a=1/2是符合要求的解。 二次项系数大于0时，亦即a<1/2时，二次方程的两个0点是x=0和x=-2a/(1/2-a) 如果要满足不等式的条件必须有-2a/(1/2-a)<=1 解此不等式得a>=-1/2 综上可知a的取值范围是[-1/2,1/2]