Question

f(x)=|x-1|+m|x-2|+6|x-3|在x=2时取得最小值,则实数m的取值范围是?

Answer 1

当x<1时，f(x)=1-x+2m-mx+18-6x=19+2m-(m+7)x，若m<-7，此时f(x)为增函数，此区间无最小值；若m>-7，此时f(x)为减函数，最小值即为x趋向于1时的极限值12+m>5，此范围可以使原函数的条件成立。m=-7时，f(x)=5。
当1<=x<2时，f(x)=x-1+2m-m，x+18-6x=17+2m-(m+5)x，f(1)=12+m，f(2)=7，此时的m值都可能使得原函数的条件成立。若m<-5，则f(1)<7，若m>=-5，则最小值至少会大于等于7。
当2<=x<3时，f(x)=x-1+mx-2m+18-6x=17-2m+(m-5)x，f(2)=7，f(3)=m+2，此时的m值都可能使得原函数的条件成立。若m<5则，f(3)<7，若m>=5则最小值至少会大于等于7.
当x>=3时，f(x)=...=-19-2m+(m+7)x，同第一宗情况，只有当m<-7时才可能使得原函数的条件成立，且最小值f(3)=m+2<-5。m=-7时，f(x)=-5。
综上可知，取得的最小值可能为-5或5或7.而题意是要求在x=2时取得，所以最小值只能为7.
这样的话，对第一种情况必须满足：12+m>=7，即m>=-5.
对第二种情况必须满足：m>=-5.
对第三种情况必须满足：m>=5.
对第四种情况必须满足：m>=-7.
综上必须取交集才能满足刚好是在x=2处去的最小值7，所以m>=5.
此题我也是第一次解，不知道考虑的是不是多了点，结果也不知道正确否；如有道理或有疑问欢迎追问。

追问

答案是大于等于5，希望能从其他角度思考一下这个问题。

追答

不好意思，我刚在交答案的时候也一直在修改回答，你追问太快了！方法没错，你可以对有疑问的地方再看看。
这样改一下回答过程：
当x-7，此时f(x)为减函数，最小值即为x趋向于1时的极限值12+m>5。m=-7时，f(x)=5。
当1=-5，则最小值才至少会大于等于7。
当2=5则最小值才至少会大于等于7.
当x>=3时，f(x)=...=-19-2m+(m+7)x，同第一宗情况，当m>=-7时f(x)为增函数，且最小值f(3)=m+2>-5。当m=7，即m>=-5.
对第二种情况必须满足：12+m>=7，即m>=-5.
对第三种情况必须满足：m+2>=7，即m>=5.
对第四种情况必须满足：m+2>=7，即m>=5.
综上必须取交集才能满足刚好是在x=2处去的最小值7，所以m>=5.