Question

高一数学题（有关三角函数）

已知f(x)=(sinx-tanx)/(1+cosx).
(1)判断函数的奇偶性。
(2)证明2π是此函数的周期。

求高人指点，写明一下步骤。谢谢~

Answer 1

∵f(x)=(sinx-tanx)/(1+cosx).
∴f(﹣x)=[sin﹙﹣x﹚-tan﹙﹣x﹚]/[1+cos﹙﹣x﹚]
＝(﹣sinx＋tanx)/(1+cosx).
＝－[(sinx-tanx)/(1+cosx).]＝﹣f(x)
1+cosx≠0
cosx≠-1
x≠π+2kπ（k属于Z）
定义域关于原点对称
所以f（x）为奇函数
（2）可以这样证f（x+2π）=f（x）
f(x+2π)=[sin(x+2π)-tan(x+2π)]/[1+cos(x+2π)]=(sinx-tanx)/(1+cosx)=f(x)
所以2π为f（x）的周期

Answer 2

∵f(x)=(sinx-tanx)/(1+cosx).
∴f(﹣x)=[sin﹙﹣x﹚-tan﹙﹣x﹚]/[1+cos﹙﹣x﹚]
＝(﹣sinx＋tanx)/(1+cosx).

＝－[(sinx-tanx)/(1+cosx).]＝﹣f(x)

∴是奇函数

Answer 3

1）奇函数
f(-x)=[sin(-x)-tan(-x)]/[1+cos(-x)]=-(sinx-tanx)/(1+cosx)=-f(x)
2）用定义f(x+2π)=f(x)
f(x+2π)=[sin(x+2π)-tan(x+2π)]/[1+cos(x+2π)]=(sinx-tanx)/(1+cosx)=f(x)
所以2π为周期

Answer 4

f(-x)=(sin-x-tan-x)/(1+cos-x).
=(-sin+tanx)/(1+cosx).
=(tanx-sinx)/(1+cosx)=-f(x)

f(x+2π)=(sin2π+x-tan2π+x)/(1+cos2π+x)
=(sinx-tanx)/(1+cosx)=f(x)