Question

高数问题，快来啊~~

设向量a,b,c均为非零向量，证明下面结论：
1.若三个向量中任意两个不共线，但a+b与c共线，b+c与a共线，则a+b+c=0
2.若a叉乘b+b叉乘c+c叉乘a=0，则a,b,c共面。

Answer 1

题：设向量a,b,c均为非零向量，证明下面结论：
1.若三个向量中任意两个不共线，但a+b与c共线，b+c与a共线，则a+b+c=0
2.若a叉乘b+b叉乘c+c叉乘a=0，则a,b,c共面。

证明：由a+b与c共线；
知 存在常数k
使得
c=m(a+b) （1式）
其中m不为零。
同理
a=n(b+c) （2式）
其中n不为零。
将（1式）带入（2式）
化简得：
(1-mn)a=(n+mn)b
由于a、b均不是零向量
故n+mn=0
解得m=-1；
既是：c=-1(a+b)
既：a+b+c=0

（1）小题得证，同理可证（2）小题。

Answer 2

Proof:
1
from the first condition,
a+b+k*c=0 (k is not equal to 0)
from the second condition,
l*a+b+c=0 (l is not equal to 0)
so we have:
(l-1)*b+(lk-1)*c=0
since b c is linear independent
we have:
l-1=0
and lk-1=0
therefore: l=k=1
so a+b+c=0

2
c(aXb+bXc+cXa)=0
since c(bXc)=0 and c(cXa)=0
we have c(aXb)=0
so a b c in the same plane