Question

a1=2,a2=10,an+2=2an+1+3an，a1+a2+a3+an＜2/3

a1=2,a2=10,a（n+2）=2a（n+1）+3an，求证1/a1+1/a2+1/a3+…+1/an＜2/3对任意n∈N*成立

Answer 1

证：
a(n+2)=2a(n+1)+3an
a(n+2)+a(n+1)=3a(n+1)+3an
[a(n+2)+a(n+1)]/[a(n+1)+an]=3，为定值。
a2+a1=10+2=12
数列{a(n+1)+an}是以12为首项，3为公比的等比数列。
a(n+1)+an=12×3^(n-1)=4×3ⁿ
a(n+1)=-an+4×3ⁿ=-an+(3+1)×3ⁿ=-an+3^(n+1)+3ⁿ
a(n+1)-3^(n+1)=-an+3ⁿ
[a(n+1)-3^(n+1)]/(an-3ⁿ)=-1，为定值。
a1-3=2-3=-1
数列{an -3ⁿ/}是以-1为首项，-1为公比的等比数列。
an -3ⁿ=(-1)ⁿ
an=3ⁿ +(-1)ⁿ
n=1时，a1=3-1=2 n=2时，a2=9+1=10，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=3ⁿ+(-1)ⁿ。
1/an=1/[3ⁿ+(-1)ⁿ]
1/a1+1/a2+...+1/an=1/(3-1)+1/(3²+1)+1/(3³-1)+...+1/[3ⁿ+(-1)ⁿ]
<1/2+1/3^2+1/3^3+...+1/3^n
=1/2+(1/3)[1-1/3^(n-1)]/(1-1/3)
=1/2 + 1/2 -1/3^n≤1/2 +1/2 -1/3=2/3