Question

如图，在直角三角形ABC中，角ABC=90°，以AB为直径作圆O交AC于D，E是BC中点，连接D、E求证：DE是圆O的切线

Answer 1

1.分别连结BD,DO，
设∠A=∠1，∠ACB=∠2，
易知∠1+∠2=90°
由AB为直径可得圆周角∠ADB=90°=∠ABC，
又三角形ABD与ACB有公共角∠A,
故二三角形相似，
∠ABD=∠ACB=∠2，∠CBD=∠A=∠1，
在直角三角形ADB中有AO=BO=DO=半径，
故∠ODB=∠OBD=∠2，
同理在直角三角形BDC中BE=EC=DE，∠EDB=∠EBD=∠1，
于是∠ODE=∠ODB+∠EDB=∠1+∠2=90°，
即OD⊥DE，
所以DE是圆O的切线