Question

已知等腰直角三角形ABC，∠A=90°，D为边AB的中点，过点A作CD的垂线交BC与E点，连接DE，求证角ADC=角BDE

Answer 1

证明：延长AE到F，使AF=CD，连结BF。
因为 角A=90度，AE垂直于CD，
所以 角ACD=角EAB，
又因为 AB=AC，
所以 三角形ACD全等于三角形BAF（边、角、边），
所以 AD=BF，角ADC=角F，角ABF=角BAC=90度，
因为 等腰直角三角形ABC中，角A=90度，
所以 角ABC=45度，
所以 角FBE=90度--45度=45度，
因为 D为AB的中点，
所以 AD=BD，
所以 BF=BD，
因为 BF=BD，角FBE=角ABC=45度，BE=BE，
所以 三角形FBE全等于三角形DBE，
所以 角F=角BDE，
因为 角ADC=角F，
所以 角ADC=角BDE。

Answer 2

∵∠CAB=90°，AE⊥CD，∴∠EAB=∠DCA，又AC=AB，
过B作AB的垂线交AE的延长线于F，那么Rt△FAB≌Rt△DCA，得∠F=∠ADC，BF=AD=BD；
∵△ABC是等腰直角三角形∴∠ABC=45°，∵BF⊥AB，∴∠FBD=90°，∠FBE=45°=∠DBE，
那么△FBE≌△DBE，得∠F=∠BDE。联前得∠ADC=∠F=∠BDE。