Question

已知函数f（x）=|x-a|,g(x)=x^2+2ax+1(a为正常数），且函数f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等

（1）求a的值；
（2）求函数f(x)+g(x)的单调递增区间；
（3）若n为正整数，证明10^[f(n)]*（4/5)[g(n)]<4.

Answer 1

1.f(0)=g(0)=1,即两函数的公共点为(0,1)将(0,1)代入g(x)得：a=1
2,f(x)+g(x)=|x-1|+x^2+2x+1
当x>=1时，y=x^2+3x,对称轴：x=-(3/2),开口向上，所以函数在【1，+∞）上单调增
当x<1时，y=x^2+x+2对称轴为x= - (1/2)，函数的单调增区间为:[ - (1/2) ,1)
由于函数是连续函数，所以单调增区间可以合并为:[ - (1/2) ,+∞)
3. 原题中的 "10^[f(n)]*（4/5)[g(n)]<4 “ 是10^ {[f(n)]*（4/5)[g(n)]｝<4 还是
{10^[f(n)]}*{（4/5)[g(n)]}<4

第3问没有添加一些括号给还原带来一些麻烦，如果我自己都试一下，太费时间
因为每一种情况都是很难的。

Answer 2

前两题太简单了所以直接做第三题了。。。

(3)因为截距相等,所以a=±1,又因为a为正常数,所以a=1.
所以即证明10^(n-1)*(4/5)^(n^2+2n+1)<4.
当n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时验证成立.
当n≥11时,(n+1)^2＞(n-1)(n+1),所以
10^(n-1)*(4/5)^(n^2+2n+1)＜10^(n-1)*(4/5)(n-1)(n+1)
=[10*(4/5)^(n+1)]^(n-1)
[ ]括号里面的小于1,所以整个式子小于1,从而小于4