Question

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+1

求证：数列{an+1}为等比数列
没抄错，n都是小几号的，(2)求数列{nan}的前n项和Sn，第二问a前面的n不小

Answer 1

解：
a(n+1)=2an +1
a(n+1)+1=2an +2
[a(n+1)+1]=2(an +1) 所以数列{an+1}为等比数列
an+1=(a1+1)*2^(n-1) =2*2^(n-1)=2^n
所以an=2^n-1
Sn=a1+2*a2+……+n*an=(2^1-1)+2*(2^2-1)+……+n*(2^n-1)
=2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n-(1+2+……+n)
=2^1+2*2^2+3*2^3+…(n-1)*2^(n-1)+n*2^n-n(n+1)/2
2Sn=2^2+2*2^3+3*2^4+…… +(n-1)*2^n+n*2^(n+1)-n(n+1)
两式相减-Sn=2^1+2^2+2^3+……+2^n-n*2^(n+1)+n(n+1)/2
=2*(2^n-1)-n*2^(n+1)+n(n+1)/2=2^(n+1)-n*2^(n+1)-2+n(n+1)/2
Sn=(n-1)*2^(n+1)-n(n+1)/2+2

Answer 2

解：
a(n+1)=2an +1
a(n+1)+1=2an +2
[a(n+1)+1]/(an +1)=2，为定值。
a1+1=1+1=2
数列{an +1}是以2为首项，2为公比的等比数列。
an +1=2ⁿ
an=2ⁿ -1
n=1时，a1=2-1=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ -1