Question

f(x)=|x-1|+m|x-2|+6|x-3|在x=2时取得最小值,则实数m的取值范围是?

求多种思路，我想用二次函数解为什么解不出啊

Answer 1

这个没有二次项，怎么用二次函数解啊
根据绝对值的几何意义|X-1|是点X到点1的距离，|X-2|是点X到点2的距离
f(x)实质上指的是在数轴上找一点，该点到1的距离与到2距离的M倍与到3距离的6倍的和，在该点为2的时候最小
当点从2右移时到3的过程中，到1的距离增大，到2的距离也增大，增大的总数为移动距离的1+M倍；到3的距离减小，减小的总数为移动距离的6倍。因此为保证点在2出和最小，增大倍数要大于减小倍数。所以1+M＞6，M＞5
当点越过3后，到1、2、3距离都增大，因此不可能出现最小值
当点从2左移到1的过程中，到1距离缩小，缩小值为移动距离；到2、3距离增大。因为到3的距离增大值为移动距离的6倍，所以一定增大。不可能取最小值。
因此M＞5

追问

答案是大于等于

追答

嗯，是大于或等于。当M=5，M+1=6向右移动时增大和减小的总数相等。仍然是X=2时最小

追问

弱弱的说一句，其实我没看懂你的思路是什么增大的总数为移动距离的1+M倍是怎么得来的，还有你说越过三后不可能出现最小值，M如果是负数呢？

追答

如果M是负数，在X=2时是不会为最小值，而是最大值。所以根本没有考虑

Answer 2

当x<1时，f(x)=1-x+2m-mx+18-6x=19+2m-(m+7)x，若m<-7，此时f(x)为增函数，此区间无最小值；若m>-7，此时f(x)为减函数，最小值即为x趋向于1时的极限值12+m>5。m=-7时，f(x)=5。
当1<=x<2时，f(x)=x-1+2m-m，x+18-6x=17+2m-(m+5)x，f(1)=12+m，f(2)=7。若m<-5，则f(1)<7，若m>=-5，则最小值才至少会大于等于7。
当2<=x<3时，f(x)=x-1+mx-2m+18-6x=17-2m+(m-5)x，f(2)=7，f(3)=m+2。若m<5则，f(3)<7，若m>=5则最小值才至少会大于等于7.
当x>=3时，f(x)=...=-19-2m+(m+7)x，同第一宗情况，当m>=-7时f(x)为增函数，且最小值f(3)=m+2>-5。当m<-7时，f(x)为减函数，无最小值。
综上可知，取得的最小值可能为-5或5或7.而题意是要求在x=2时取得，所以最小值只能为7.就是说其他区间的最小值要大于等于7.
这样的话，对第一种情况必须满足：12+m>=7，即m>=-5.
对第二种情况必须满足：12+m>=7，即m>=-5.
对第三种情况必须满足：m+2>=7，即m>=5.
对第四种情况必须满足：m+2>=7，即m>=5.
综上必须取交集才能满足刚好是在x=2处去的最小值7，所以m>=5.