Question

高中数学问题（正弦定理）（需要过程）

在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，A-C=π/3求sinB的值

Answer 1

a+c=2b由正弦定理有sinA+sinC=2sinB
又sin A+sinC=2sin[(A+C)/2]*cos[(A-C)/2]=2sin[(π-B)/2]*cos(π/6)
=(根号3)*sin(π/2-B/2)=根号3*cos(B/2)
且sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)
带入等式有 (根号3)*cos(B/2)=4sin(B/2)*cos(B/2)
sin(B/2)=(根号3)/4
由于A-C=π/3,A+C>π/3,B<2π/3,B/2<π/3,cos(B/2)>0
所以cos(B/2)==根号(1-sin(B/2)^2)=(根号13)/4
sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)=(根号39)/8

Answer 2

解：∵a+c=2b∴sinA+sinC=2sinB，，即2sin（A+C）/2 cos（A-C ）/2 =4sinB/ 2 cosB /2 ，
∴sinB/ 2 =1 /2 cos(A-C)/ 2 = 根3/ 4 ，而0＜B /2 ＜ π /2 ，∴cosB /2 = 根13/ 4 ，
∴sinB=2sinB /2 cosB/ 2 =2×根 3 /4 ×根 13 /4 =根 39/ 8 ．

Answer 3

因为 a+c=2b
由正弦定理可以知道 sinA+sinC=2sinB ①

由 积化和差公式 知
sinA+sinC=2* sin[(A+C)/2]* cos[(A-C)/2]
因为A+B+C=180°，A-C=60°
所以
sinA+sinC=2* sin[(A+C)/2]* cos[(A-C)/2]
=2*sin(90°-B/2)*cos30°
=√3cos(B/2) ②
由①②两式得
2sinB=√3cos(B/2)
而sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)
所以
4sin(B/2)*cos(B/2)=√3cos(B/2)
得sin(B/2)=√3/4
因为B/2定是锐角，
所以cos(B/2)=√13/4
所以
sinB=2sin(B/2)*cos(B/2)=√39/8

Answer 4

用B表示A,C 对a+c=2b用正弦定理，有sinA+sinC=2sinB，化简得sin（B/2）=多少
有A-C=π/3得B/2<=π/3（用B表示A,C）所以cos（B/2）非负
sinB=2sin（B/2）*cos（B/2）=（根号39）/8