Question

初中数学中的二次函数问题

请帮我写出普通式，顶点式，交点式等公式，以及他们的应用

Answer 1

二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式：1：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)， 则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b²)/4a) (若给出抛物线上两点及另一个条件，通常可设一般式） 2.顶点式：y=a(x+m)^2+k(a≠0,m≠0,k≠0) (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子)（若给出抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式），顶点坐标为（-m,k）对称轴x=-m 3.交点式（与x轴）：y=a(x-x₁)(x-x₂) （若给出抛物线与x轴的交点及对称轴与x轴的交点距离或其他一的条件，通常可设交点式） 重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的二次函数x₁,x₂=[-b±√(b²-4ac)]/2a

Answer 2

y=ax^2+bx+c
y=a(x-h)^2+k
y=a(x-x₁)(x-x₂)
轴对称
　　1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 　　对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 　　特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0） 　　a,b同号，对称轴在y轴左侧 　　b=0,对称轴是y轴 　　a,b异号，对称轴在y轴右侧
顶点
　　二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 　　当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)²;+k 　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a
开口
　　二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 　　当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。 　　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
　　一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 　　当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号 　　当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 　　可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。 　　事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的 　　斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定与y轴交点的因素
　　常数项c决定二次函数图像与y轴交点。 　　二次函数图像与y轴交于（0,C） 　　注意：顶点坐标为（h,k) 与y轴交于（0,C)
与x轴交点个数
　　a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。 　　k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。 　　a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。 　　当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k 　　当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x>h范围内是增函数，在x<h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k 　　当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数

Answer 3

这个问题 建议还是自己总结的好，而且好像书本上都已经总结好了。