Question

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转

60°得到BN，连接EN.AM.CM. 1.求证：△AMB≌△ENB;
2。(1)M点在何处AM+CM最小；
（2）当M点何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
3.当AM+BM+CM的最小值为根号3+1时，求正方形的边长。

Answer 1

解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM
根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝√3/2x，EF=x/2
在Rt△EFC中，
∵EF²＋FC²＝EC²，
（x/2）²+（√3/2x+x）²=（√3+1）²
解得x=√2

Answer 2

（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS)
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°．
设正方形的边长为x，则BF= 根号3 / 2 x，EF=x /2 ．
在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴（x/ 2 ）²+（根号 3 / 2 x+x）²=(根号 3 +1)²解得，x= 根号2 （舍去负值）．
∴正方形的边长为根号 2

Answer 3

（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）

（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．（9分）
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11分）

（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°．
设正方形的边长为x，则BF=32x，EF=x2．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴（x2）2+（32x+x）2=(
3+1)2．（12分）
解得，x1=2，x2=-2（舍去负值）．
∴正方形的边长为2．（13分）

Answer 4

http://lingtekedu.diandian.com/post/2011-11-07/6587871

Answer 5

没见过