Question

已知数列an中,a1=2,an+1=2an+3，

1.求证数列{an+3} 为等比数列
2.令bn=n*an ，求数列{bn}的前n项和Sn。
谢谢，要过程。

Answer 1

1,a1=2，a(n+1)=2an+3。
a(n+1)+3=2an+3+2=2(an+3)、a1+3=5。
所以，数列{an+3}是首项为5、公比为2的等比数列。
2,an+3=5*2^(n-1)、an=5*2(n-1)-3。
bn=5n*2^(n-1)-3n
Sn=5[1+2*2+3*2^2+…+n*2^(n-1)]-3(1+2+3+…+n)=5[1+2*2+3*2^2+…+n*2^(n-1)]-3n(n+1)/2
设Tn=1+2*2+3*2^2+…+n*2^(n-1) (1)
2*(1)得：2Tn=2+2*2^2+3*2^3+…+n*2^n (2)
(1)-(2)得：-Tn=1+2+2^2+…+2^(n-1)-n*2^n=2^n-1-n*2^n
所以，Tn=(n-1)*2^n+1
Sn=5(n-1)*2^n+5-3n(n+1)/2，其中n为正整数。