Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8 点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，CM⊥BD垂足为M, EN⊥CD，

垂足为N
探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

Answer 1

由角平分线性质易得S△MDE=S△DEN= DM•ME/2
∵SMEND=S△BDE
∴ BD•EM/2=DM•EM
即DM= BD/2
∴EM是BD的垂直平分线
∴∠EDB=∠DBE
∵∠EDB=∠CDE
∴∠DBE=∠CDE
∵∠DCE=∠BCD
∴△CDE∽△CBD
∴ CD/BC=CE/CD=DE/BD ①
CD/BC=BE/BD=BE/(2BM)
即CD=4BE/BM
∴COSB=BM/BE=4/5
∴CD=4×5/4 =5
由①得CE=CD^2/BC=25/8
∴BE= 39/8
∴BM=BECOSB=4/5*39/8=39/10
∴AD=AB-2BM=10-2*39/10=11/5

Answer 2

证明：（1）∵AD=CD
∴∠DAC=∠DCA
∴∠BDC=2∠DAC
∵DE是∠BDC的平分线
∴∠BDC=2∠BDE
∴∠DAC=∠BDE
∴DE∥AC；

解：（2）（I）当△BME∽△CNE时，得∠MBE=∠NCE
∴BD=DC
∵DE平分∠BDC
∴DE⊥BC，BE=EC
又∠ACB=90°
∴DE∥AC
∴ BEBC=BDAB即BD= 12AB= 12AC2+BC2=5
∴AD=5
（II）当△BME∽△ENC时，得∠EBM=∠CEN
∴EN∥BD
∵EN⊥CD
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高
由三角形面积公式得AB•CD=AC•BC
∴CD= 245
∴AD= AC2-CD2=185
综上，当AD=5或 185时，△BME与△CNE相似；

Answer 3

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