Question

两道数学题，谢谢

1.f(x)满足f(x-a)=1/f(x)，则f(x)是周期函数,为什么啊？
2.已知函数f(x)=|e^x+a/e^x|,(a属于R）在区间【0，1】上单调递增，则实数a的取值范围（请讲讲）

Answer 1

1.f(x)满足f(x-a)=1/f(x)，则f(x)是周期函数,为什么啊？
解析：∵f(x)满足f(x-a)=1/f(x)
f(x-a-a)=1/f(x-a)==> f(x-2a)=1/f(x-a)=1/(1/f(x))=f(x)
f(x)= f(x-2a)==>f(x+2a)=f(x+2a-2a)=f(x)
∴f(x)=f(x+2a)
∴f(x)为最小正周期为2a的周期函数；

2.已知函数f(x)=|e^x+a/e^x|,(a属于R）在区间【0，1】上单调递增，则实数a的取值范围
解析：∵函数f(x)=|e^x+a/e^x|,(a属于R）在区间【0，1】上单调递增
当a=0时，f(x)=e^x>0，在区间[0,1]上单调递增；
当a>0时，f(x)= e^x+a/e^x>0
令f’(x)= e^x-a/e^x=0==>x=lna/2
f’’(x)= e^x+a/e^x>0
∴函数f(x)在x=lna/2处取极小值
∴f(x)在区间[0,1]上单调递增，只需lna/2<=0==>0<a<=1；
当a<0时
e^x=-a/e^x==>x=ln(-a)/2
X<ln(-a)/2时，f(x)=-e^x-a/e^x
X>=ln(-a)/2时，f(x)=e^x+a/e^x
∴f(x)在区间[0,1]上单调递增，只需ln(-a)/2<=0==>0<-a<=1==>-1<=a<0；

综上，f(x)在区间[0,1]上单调递增，a的取值范围为-1<=a<=1

Answer 2

1，f(x)是周期函数
f(x-2a)=f(x-a-a)=1/f(x-a)=1/(1/f(x))=f(x)
则最小正周期为2a
2,f(x)=|e^x+a/e^x|,(a属于R）在区间【0，1】上单调递增等价于,f(x)=|e^x+a/e^x|=0无根
如果有根，一经过绝对符号就不单调了
就是e^x+a/e^x=0在区间【0，1】无根
就是e^2x+a=0在区间【0，1】无根
就有e^0+a>0且e^2*1+a>0
或e^0+a<0且e^2*1+a<0
解得a>-1或a<-e^2

Answer 3

1)令x=x+a,得f(x)=1/f(x+a)，则f(x-a)=f(x+a)，再令x=x+a,得f(x)=f(x+2a)，所以周期是2a
2)因为在区间【0，1】上单调递增，所以首先将0和1带入方程，且f(0)<f(1),I1+aI<Ie+a/eI,在分析