Question

把20个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？

我是这么做的：我先把第一个盒内放1个，第二个盒内放2个，第三个盒内放3个，第4个盒内放4个，然后还剩10个球，每个球有 4种放法，所以总共有4*10种放法，为什么结果是错的？

Answer 1

你这种做法在数学上叫“保底”。就是先满足条件，再任意排或放，这容易导致计数时重复。
再说了，20个小球完全相同，你先把一个球放入1号盒再把一个球放入2号盒，与先把一个球放入2号盒再把一个球放入1号盒，完全一样。这就重复了。

Answer 2

解：转化为隔板法。
设四个盒子中装的数分别是a，b，c，d.则a+b+c+d=20。其中字母的取值范围必须都是≥1，才能用隔板法，所以要转化下。
a+b+c+d=20
a+(b-1)+(c-2)+(d-3)=14
x+y+z+w=14
问题转化为14个球放到四个盒中，每个盒中至少一个。
这样想，把14个球摆好，中间放三个板子，这样就分成了四堆了
14个球，共十三个空，插三个板，所以C十三 三，结果是286

Answer 3

因为是相同的小球，所以还剩10个球放入编号为1、2、3、4的盒子中不是4*10种放法，而要除以4！

Answer 4

每个球有 4种放法
所以总共有4^10种放法

Answer 5

4^10种，，，，