Question

一道数学题：如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

1）求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式；
（2）过点A作AP∥BC交抛物线于点P．求点P的坐标以及四边形ACBP的面积；
（3）在抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使以A、M、N三点为顶点的三角形与三角形PCA相似．若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

：易知：A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
则OA=OB=OC=1，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=2；
又∵AP∥BC，
∴∠PAC=90°；
易知直线BC的解析式为y=x-1，
由于直线AP∥BC，可设直线AP的解析式为y=x+h，由于直线AP过点A（-1，0）；
则直线AP的解析式为：y=x+1，
联立抛物线的解析式：{y=x+1y=x2-1，
解得{x=2y=3，{x=-1y=0；
故P（2，3）；
∴AP=(2+1)2+32=32；
Rt△PAC和Rt△AMG中，∠AGM=∠PAC=90°，且PA：AC=32：2=3：1；
若以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似，则AM：MG=1：3，或AM：MG=3：1；
设M点坐标为（m，m2-1），（m＜-1或m＞1）
则有：MG=m2-1，AG=|m+1|；
①当AM：MG=1：3时，m2-1=3|m+1|，m2-1=±（3m+3）；
当m2-1=3m+3时，m2-3m-4=0，解得m=1（舍去），m=4；
当m2-1=-3m-3时，m2+3m+2=0，解得m=-1（舍去），m=-2；
∴M1（4，15），M2（-2，3）；
②当AM：MG=3：1时，3（m2-1）=|m+1|，3m2-3=±（m+1）；
当3m2-3=m+1时，3m2-m-4=0，解得m=-1（舍去），m=43；
当3m2-3=-m-1时，3m2+m-2=0，解得m=-1（舍去），m=23（舍去）；
∴M3（43，79）．
故符合条件的M点坐标为：（4，15），（-2，3），（43，79）．

Answer 2

解：（1）令y=0，得x2-1=0，
解得x=±1，
令x=0，得y=x-1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴
0=k+b-1=b
，得，
b=-1k=1
∴y=x-1；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°，
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1），
∵点P在抛物线y=x2-1上，
∴a+1=a2-1
解得：a1=2，a2=-1（不合题意，舍去），
∴PE=3，
∴四边形ACBP的面积=1/2 xAB×OC+1/2xAB×PE=1+3=4；
（3）假设存在．
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠MNA=∠PAC=90°，
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=2 ，
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=32 ，
设M点的横坐标m，则M（m，m2-1），
①点M在y轴右侧时，则m＞1，
（ⅰ） 当△AMN∽△PCA时，
∵AN=m+1，MN=m2-1，
AN/AP=MN/AC ，即m+1/32 =m2-1 /2 ，
解得：m=4/3 ，∴M(4/3,7/9 ）；
（ⅱ） 当△MAN∽△PCA时，
AN /AC =MN /AP 即
m+1 /2 =m2-1 /32 ，
解得：m=4，
∴M（4，15）；
②点M在y轴左侧时，则m＜-1，
（ⅰ） 当△AMN∽△PCA时，
∵AN=-m-1，MN=m2-1，
∴AN /AP =MN /AC ，
∴-m-1 /32 =m2-1/2 ，
解得m1=1（舍去），m2=2 /3 （舍去），
∴M不存在；
（ⅱ） 当△MAN∽△PCA时，
∵AN=-m-1，MN=m2-1，
∴MN /PA =AN /AC ，m2-1 /32 =-m-1 /2 ，
解得：m1=1（舍去），m2=-2，
∴M（-2，3），
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（-2，3），（4 /3 ,7 /9 ），（4，15）．

Answer 3

(1).A(-1,0);B(1,0);C(0,-1);BC:y=x-1
(2).P(2,3) S=4;
(3)三角形AMN为直角三角形，而三角形PCA不是直角三角形，所以不存在