Question

用收敛的定义判断级数：1/n（n+1）（n+2）是否收敛？

Answer 1

　　收敛。
　　级数收敛的定义是级数收敛，就是其前n项和的极限存在。
　　证明：
　　设Sn为级数前n项的和。有：
　　Sn=1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+......+1/[n(n+1)(n+2)]
　　 =1/2*{[1/(1*2)-1/(2*3)]+[1/(2*3)-1/(3*4)]+......+1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
=1/2*{1/2-1/[(n+1)(n+2)]}
=1/4-1/[2n(n+1)(n+2)] ，
　　显然，当n趋向无穷大时，Sn=1/4
　　所以该级数收敛。

Answer 2

级数收敛，就是其前n项和的极限存在。

由于 1/[n(n+1)(n+2)]=1/2*{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]} ，因此
Sn=1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+......+1/[n(n+1)(n+2)]
=1/2*{[1/(1*2)-1/(2*3)]+[1/(2*3)-1/(3*4)]+......+1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
=1/2*{1/2-1/[(n+1)(n+2)]}
=1/4-1/[2n(n+1)(n+2)] ，
当 n 趋于无穷时，Sn→1/4 ，
因此，级数收敛。

Answer 3

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 4

果断收敛啊。。。

知道等比法不？ 这和1/n^3是等价地