Question

高中数学三角函数解三角形

设锐角三角形ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c ，a=2bsinA ．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cosA+sinC 的取值范围．

第一问很好求，B为30度
第二问看解析的时候他是 把cosA=sinC 化成 根号3sin(A+60)
之后他说 因为三角形为锐角，
所以90-A>90-B =60 （请问怎么得到的？还没知道A是否大于B呢，怎么能判断这个呢？）
接下来: 2π/3 <A+π/3< π/6 (怎么就到这一步了呢？）
∴1/2 sin（A+π/3）< 根号3/2 （不是应该是 1/4 的吗？）
由此有 根号3/2 < 根号3sin（A+π/3）< 根号三/2 X 根号3

我的基础不是很好，大家解释得详细点吧，谢谢了

Answer 1

其实你只要仔细演算演算，不难得到答案的。
因为三角形中A+B+C=180°。所以sinC=sin[180°-(A+B)],根据三角函数的诱导公式，sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sin(A+30°)=sinAcos30°+cosAsin30°，所以cosA+sinC=cosA+sinAcos30°+cosAsin30°=二分之根号3*sinA+3/2cosA=根号3*（sinA/2+根号3*cosA/2)=根号3*（sinAcos60°+cosAsin60°）=根号3*sin(A+60°) （此为化一公式，两角和的正弦公式逆用）。之后因为B=30°，则A+C=180°-30°=150°，由于C不为0，所以A肯定要比150°小，即A<150°，所以他会说90°-A>30°，(而这么写是由于他想和B建立联系，即他说的90-A>90-B =60 ，不等式两边同时加上-90°，得：-A>-B,所以A<B.)但是之后他的解析我觉得有问题，应该像第一位回答者的做法才是合乎道理的。

Answer 2

2π/3 <A+π/3< π/6 (怎么就到这一步了呢？）你这写错了吧，我的解答跟他答案不一样，我觉得她答案是错的，你可以看看。
因为角B等于30度，又是锐角三角形，所以C=150-A，要C小于90度，求出A的范围是大于60小于90，所以A大于B
然后画出图像，看得出来1/2sin(A+60）大于1/4小于根号3/4
所以原式就大于根号3/4小于3/4

Answer 3

90-A>90-B =60 这是错的，理由是A+C=150
150=A+C<A+90
A>60对不起我要下了，这个是题不是这样做的。误导

Answer 4

第二问需要 用到辅助角公式