Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC延长线于点N，且∠APM=∠A

求证：点M在BN的垂直平分线上

Answer 1

证明：从点M做线段BN的一条垂线，且与BN相交于点Q
因 AC垂直于BN 且 MQ垂直于BN
所以 MQ//AC
所以有 ∠BMQ=∠A 且 ∠QMP=∠APM=∠A
因∠A+∠AMP+∠APM=∠N+∠PCN+∠NPC=180°且∠A=∠AMP=∠NPC=45°
所以 ∠N =45°
所以∠B=∠BMQ=∠NMQ =∠N=45° 即△BMQ和△NMQ同为等腰直角三角形
所以BQ=QM=QN 即M在BN的垂直平分线上