Question

如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中AB=AC，AD=AE，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N。（1）

如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中AB=AC，AD=AE，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N。（1）证明BD=CE（2）证明：BD⊥CE；（3）当△ABC 绕点A沿顺时针方向旋转到如图②③④的位置时，上述结论是否成立？请选择其中的一个图加以证明。

Answer 1

证明：(1)∵ABC,ADE为直角三角形
∴∠BAC=∠DAE=90°
∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
即∠BAD=∠CAE
又∵AB=AC,AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
BD=CE
(2)∵△BAD≌△CAE(SAS)
∴∠ABD=∠ACE
又∵∠BNA=∠CNM
∴∠CMN=∠CAB=90°
BD⊥CE
(3)上述结论都成立
图②中，延长DB交CE于F。
∵AC=AB,∠CAE=∠BAD=90°,AE=AD
∴△CAE≌△BAD(SAS)
BD=CE,∠CEA=∠BDA
又∵∠EBF=∠ABD
∴∠EFB=∠BAD=90°
BD⊥CE
图③和图④中，证明方法同上。都是先证明三角形全等，在找对应角相等。

Answer 2

①证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
即∠BAD=∠EAC，
∵在△BAD和△CAE中
BA＝AC
∠BAD＝∠CAE
AE＝AD
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；

②证明：∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠EAD=90°，
∴∠1+∠AEC=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠ADB=90°，
∴∠DME=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE；

Answer 3

△
证明：(1)∵ABC,ADE为直角三角形
∴∠BAC=∠DAE=90°
∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
即∠BAD=∠CAE
又∵AB=AC,AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
BD=CE
(2)∵△BAD≌△CAE(SAS)
∴∠ABD=∠ACE
又∵∠BNA=∠CNM
∴∠CMN=∠CAB=90°
BD⊥CE
(3)上述结论都成立
图②中，延长DB交CE于F。
∵AC=AB,∠CAE=∠BAD=90°,AE=AD
∴△CAE≌△BAD(SAS)
BD=CE,∠CEA=∠BDA
又∵∠EBF=∠ABD
∴∠EFB=∠BAD=90°
BD⊥CE
图③和图④中，证明方法同上。都是先证明三角形全等，在找对应角相等