Question

设X1=10,Xn+1=√6+Xn(n=1,2...),试证数列｛Xn｝的极限存在，并求此极限

Answer 1

1. 先证有界性
设 xn<=3
xn+1=√6+Xn<=√6+3=3
即
xn+1-xn=√6+Xn-√6+Xn-1
=(xn-xn-1)/[√6+Xn+√6+Xn-1]
所以
xn+1-xn和xn-xn-1 符号相同
而
x2=√6+X1=4
x2-x1<0
所以
xn+1-xn<0
xn+1<xn
即
{xn}是减函数，
所以单调有界数列必有极限；
设极限=a
则
limXn+1=lim√6+Xn
a=√6+a
a²=6+a
a²-a-6=0
(a+2)(a-3)=0
a=3
即
极限=3

Answer 2

首先 xn > 0.

x(n+1)^2 = 6 + xn
x(n+1)^2 - 9 = xn - 3
x(n+1) - 3 = (xn - 3) / (x(n+1) + 3)
因 x1 > 3, 由上式， xn > 3 对一切xn 成立。

于是

x(n+1) - 3 = (xn - 3) / (x(n+1) + 3) < （xn - 3）/3
即 {xn-3 | n = 1, 2,...} 是正数递减序列， 所以极限存在。
易得到其极限为0. 所以原数列极限为3