Question

菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD,CD上的两个动点，且满足AE+CF=2

(1)设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

Answer 1

首先：边长为a的等边三角形面积S=√3·a²／4 ﹙这个结论你自己可以求证﹚
解答：
∵菱形ABCD ∴AB=AD=2 又∵BD=2 ∴⊿ABD是等边三角形 ∴∠A=∠ABD=60º
∴菱形ABCD中 ∠ADC=∠ABD=120º ∴∠CBD=60º=∠BDC﹙菱形对角线的性质﹚
∴∠A=∠BDC=60º
∵CD=2即CF＋DF=2，又∵AE+CF=2 ∴AE=DF
又∵AB=BD=2 ∴⊿ABE≌⊿DBF ﹙SAS﹚ ∴BE=BF ∠ABE=∠DBF
∵∠ABD=60º即∠ABE＋∠EBD=60º ∴∠DBF＋∠EBD=60º即∠EBF=60º
∴⊿EBF是等边三角形 ∴S⊿BEF=√3·BE²／4
∵点E是AD边上的一个动点
∴当E移动到线段AD中点时---BE最小；当E移动到线段AD的点A或D时----BE最大，是2
而当E移动到线段AD中点时AE=1且根据等边三角形性质可知：∠BEA=90º ∴根据勾股定理
得此时BE=√3
∴√3≤BE≤2 ∴ 3≤BE²≤4 ∴3√3／4≤S⊿BEF≤√3

追问

请看清我的问题

追答

已改，图

追问

∴⊿EBF是等边三角形 ∴S⊿BEF=√3·BE²／4
这步什么意思

追答

第一句：首先：边长为a的等边三角形面积S=√3·a²／4 ﹙这个结论你自己可以求证﹚

追问

我不会

追答

过等边三角形顶点做垂线，下底被2等分。利用勾股得高等于根号3倍边长

Answer 2

如下图所示
棱长为2，BD=2，AE+CF=2，ΔBEF=S

∵AB=AD=BC=CD=BD=2
∴∠DAO=∠DCO=1/2∠BAD=1/2∠BCD=30°
∴AG+CH=(AE+CF)* cos30°=2*√3/2=√3
而AC总长为2√3，所以ΔBEF竖直距离就应该是2√3-√3=√3
而横向距离随着E、F的移动而移动
极限位置是E无限接近A，F是无限接近D，那横向距离是2
还有个极限位置是E,F各为AD,CD中点，那横向距离是3/2
ΔBEF=S最大值为1/2*2*√3=√3
ΔBEF=S最小值为1/2*3/2*√3=3√3/4

Answer 3

因为AE+ED=2
AE+CF=2所以ED=CF
又BC=BD
且∠BDE=∠BCF
由夹角公式得，BDE全等于BCF
由此可得BE=BF
所以BEF为等腰三角形

Answer 4

(1).AE+ED=AD=2
AE+CF=2
所以ED=CF
BD=BC=2
角BDE=BDF=60
所以全等
(2).在BC边上做CM=CF,所以三角形CFM等边三角,所以角BMF=120,BM+MC=BC=2
CF+DF=CD=2,CF=CM
所以
DF=BM,又DE=CF=FM,所以三角形BMF和FDE全等所以BF=EF,所以三角形BEF为等边