Question

定义在(-1,1)上的函数f(x)满足： 对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)]

当x∈(-1,0)时，f(x)>0有，求证：f(1/5)+f(1/11)+…+f(1/n2+3n+1)>f(1/2)
要详细过程 急啊

Answer 1

1、以x=y=0代入，得：f(0)=0；
2、以y=－x，代入，得：f(x)＋f(－x)=f[(x＋y)/(1＋xy)]=f(0)=0
即：f(－x)=－f(x)
所以函数f(x)是奇函数；
3、当－1<x<0时，f(x)>0；则：0<x<1时，f(x)<0；
4、以y=－y代入，得：
f(x)＋f(－y)=f(x)－f(y)
当x>y>0时，f(x)－f(y)=f[(x－y)/(1－xy)]，而(x－y)/(1－xy)>0，即：f[(x－y)/(1－xy)]>0
则：f(x)在(0，1)内是递增的；
5、另外：1/(n²＋3n＋1)：类似x=1/(n＋1)、y=1/(n＋2)时的f(x)－f(y)=f(x－y)=f[(x－y)/(1－xy)]
则：左边=[f(1/2)－f(1/3)]＋[f(1/3)－f(1/4)]＋…＋f[1/(n＋1)]－f[(1/(n＋2)]
=f(1/2)－f[1/(n＋2)]>f(1/2)
【因为0<x<1时，f(x)<0】

Answer 2

取x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0
令y=-x∈（-1，1），则f(x)+f(-x)=f(x-x
1-x 2

)=f(0)=0，
∴f（-x）=-f（x）
则f（x）在（-1，1）上为奇函数．
令x=1/n+1，y=1/n+2，由f(x)+f(y)=f(x+y／1+xy）和函数为奇函数易得：
f(1/n+1)-f(1/n+2)=f(1/n+1)+f【-(1/n+2)】=f(1/n^2+3n+1)
:f(1/n^2+3n+1)=f(1/n+1)-f(1/n+2)
∴f(1/5)+f(1/11)+.....+f(1/(n^2+3n+1)
=f(1/2)-f(1/3)+f(1/3)-f(!/4)+……+f(1/n+1)-f（1/n+2)
=f(1/2）-f（1/n+2)
由条件2结合函数为奇函数可知f（1/n+2)＞0
∴f(1/2）-f（1/n+2)＞f(1/2）即f(1/5)+f(1/11)+.....+f(1/(n^2+3n+1))>f(1/2)