Question

已知在三角形ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上的一点，DC=1/2BC，DN//CM交边AC于点N,求证 MN//BC

2. 当∠ACB为何值时，四边形BDNM为等腰梯形，并证明你的猜想

Answer 1

第一个问题：
取BC的中点为E。
∵M、E分别是AB、BC的中点，∴ME∥AC，∴∠CME＝∠MCN。
∵DN∥CM，∴∠MCE＝∠NDC、∠MCN＝∠DNC。
由∠CME＝∠MCN、∠MCN＝∠DNC，得：∠CME＝∠DNC。
∵CE＝（1/2）BC、DC＝（1/2）BC，∴CE＝DC。
由CE＝DC、∠MCE＝∠NDC、∠CME＝∠DNC，得：△CEM≌△DCN，∴CM＝DN。
由CM∥DN、CM＝DN，得：CDNM是平行四边形，∴MN∥CD，∴MN∥BC。

第二个问题：
当∠ACB＝90°时，四边形BDNM是等腰梯形。
［证明］
∵MN∥BC，∴四边形BDNM是以BM、DN为腰的梯形。
由猜想，∠ACB＝90°，又M是AB的中点，∴BM＝CM，而CM＝DN，∴BM＝DN，
∴梯形BDNM是等腰梯形。