Question

几道微积分的题！！ 求解！！ 高分！！

要详细过程
谢谢
全部答完绝对追分！！！！！

Answer 1

1、cosx→1 (x→0) sinx/x→1 (x→0)
所以lim(x→0) 2sin^2x/x^2*cos^2x=lim(x→0) 2(sinx/x)^2 =2
2、d(tanh(sin3x)/dx=3sech^2(sin3x)*cos3x （直接运用dtanhx=sech^2x）
3、先取对数，ln(1/x)^sinx=-sinx*lnx
而lim(x→0)sinx*lnx=lnx/(1/sinx) （罗必塔法则）=(lnx)'/(1/sinx)'=sin^2x/x*cosx（再用罗必塔）
= 2sinxcosx/(cosx-xsinx)=0/(1-0)=0
所以lim(x→0)ln(1/x)^sinx=0，那么lim(x→0)(1/x)^sinx=1
4、d(2^x+3^x)/dx=ln2*2^x+ln3*3^x
5、∫tan^3x*sec^3x=∫ tanx*sec^3x*(sec^2x-1)dx 令u=secx du=tanx*secxdx
所以=∫ u^2(u^2-1)du=∫ u^4-u^2du=1/5u^5-1/3u^3+C= 1/5sec^5x-1/3sec^3x+C
6、∫sin^2xdx=∫(1-cos2x)/2dx=x/2-1/4sin2x+C
7、∫(lnx)^2dx=x(lnx)^2-∫xd(lnx)^2（分部积分）=x(lnx)^2-2∫lnxdx（分部积分）
=x(lnx)^2-2xlnx+2∫xd(lnx)=x(lnx)^2-2xlnx+2∫ dx=x(lnx)^2-2xlnx+2x+C
8、令u=x^(1/6) du=dx/6x^(5/6)
原式=6∫u^2/(1+u^2)du=6∫(1-1/(1+u^2)du=6(u-arctanu)+C=6(x^(1/6)-arctan(x^(1/6)))+C
9、∫(0,2)x^2*√x^3+1dx=1/3∫(0,2)√x^3+1d(x^3+1)=1/3*2/3 (x^3+1)^(3/2) (0,2)=52/9
10、∫(0,e^2)lnxdx=xlnx-x (0,e^2) （分部积分）=e^2
这里有lim(x→0)xlnx=0
11、∫(0,∞) x*e^(-x)dx=-∫(0,∞) xde^(-x)=-x*e^(-x)+∫e^(-x)dx=-(x*e^(-x)+e^(-x)) (0,∞)=1
这里用到lim(x→∞)x*e^(-x)=0
12、∫(1,∞)x^(-a)dx=1/(1-a)x^(1-a) (1,∞)=1/(a-1)
手打不易，如果有什么不清楚或者错误的地方请追问，望采纳~~~

Answer 2

1、cosx→1 (x→0) sinx/x→1 (x→0)
所以lim(x→0) 2sin^2x/x^2*cos^2x=lim(x→0) 2(sinx/x)^2 =2
2、d(tanh(sin3x)/dx=3sech^2(sin3x)*cos3x （直接运用dtanhx=sech^2x）
3、先取对数，ln(1/x)^sinx=-sinx*lnx
而lim(x→0)sinx*lnx=lnx/(1/sinx) （罗必塔法则）=(lnx)'/(1/sinx)'=sin^2x/x*cosx（再用罗必塔）
= 2sinxcosx/(cosx-xsinx)=0/(1-0)=0
所以lim(x→0)ln(1/x)^sinx=0，那么lim(x→0)(1/x)^sinx=1
4、d(2^x+3^x)/dx=ln2*2^x+ln3*3^x
5、∫tan^3x*sec^3x=∫ tanx*sec^3x*(sec^2x-1)dx 令u=secx du=tanx*secxdx
所以=∫ u^2(u^2-1)du=∫ u^4-u^2du=1/5u^5-1/3u^3+C= 1/5sec^5x-1/3sec^3x+C
6、∫sin^2xdx=∫(1-cos2x)/2dx=x/2-1/4sin2x+C
7、∫(lnx)^2dx=x(lnx)^2-∫xd(lnx)^2（分部积分）=x(lnx)^2-2∫lnxdx（分部积分）
=x(lnx)^2-2xlnx+2∫xd(lnx)=x(lnx)^2-2xlnx+2∫ dx=x(lnx)^2-2xlnx+2x+C
8、令u=x^(1/6) du=dx/6x^(5/6)
原式=6∫u^2/(1+u^2)du=6∫(1-1/(1+u^2)du=6(u-arctanu)+C=6(x^(1/6)-arctan(x^(1/6)))+C
9、∫(0,2)x^2*√x^3+1dx=1/3∫(0,2)√x^3+1d(x^3+1)=1/3*2/3 (x^3+1)^(3/2) (0,2)=52/9
10、∫(0,e^2)lnxdx=xlnx-x (0,e^2) （分部积分）=e^2
这里有lim(x→0)xlnx=0
11、∫(0,∞) x*e^(-x)dx=-∫(0,∞) xde^(-x)=-x*e^(-x)+∫e^(-x)dx=-(x*e^(-x)+e^(-x)) (0,∞)=1
这里用到lim(x→∞)x*e^(-x)=0
12、∫(1,∞)x^(-a)dx=1/(1-a)x^(1-a) (1,∞)=1/(a-1)

Answer 3

亲，我凭记忆做的，望采纳哦！
1、cosx→1 (x→0) sinx/x→1 (x→0)
所以lim(x→0) 2sin^2x/x^2*cos^2x=lim(x→0) 2(sinx/x)^2 =2
2、d(tanh(sin3x)/dx=3sech^2(sin3x)*cos3x
3、取对数，ln(1/x)^sinx=-sinx*lnx
而lim(x→0)sinx*lnx=lnx/(1/sinx) =(lnx)'/(1/sinx)'=sin^2x/x*cosx
= 2sinxcosx/(cosx-xsinx)=0/(1-0)=0
所以lim(x→0)ln(1/x)^sinx=0，那么lim(x→0)(1/x)^sinx=1
4、d(2^x+3^x)/dx=ln2*2^x+ln3*3^x
5、∫tan^3x*sec^3x=∫ tanx*sec^3x*(sec^2x-1)dx 令u=secx du=tanx*secxdx
所以=∫ u^2(u^2-1)du=∫ u^4-u^2du=1/5u^5-1/3u^3+C= 1/5sec^5x-1/3sec^3x+C
6、∫sin^2xdx=∫(1-cos2x)/2dx=x/2-1/4sin2x+C
7、∫(lnx)^2dx=x(lnx)^2-∫xd(lnx)^2=x(lnx)^2-2∫lnxdx
=x(lnx)^2-2xlnx+2∫xd(lnx)=x(lnx)^2-2xlnx+2∫ dx=x(lnx)^2-2xlnx+2x+C
8、令u=x^(1/6) du=dx/6x^(5/6)
原式=6∫u^2/(1+u^2)du=6∫(1-1/(1+u^2)du=6(u-arctanu)+C=6(x^(1/6)-arctan(x^(1/6)))+C
9、∫(0,2)x^2*√x^3+1dx=1/3∫(0,2)√x^3+1d(x^3+1)=1/3*2/3 (x^3+1)^(3/2) (0,2)=52/9
10、∫(0,e^2)lnxdx=xlnx-x (0,e^2) 所以lim(x→0)xlnx=0
11、∫(0,∞) x*e^(-x)dx=-∫(0,∞) xde^(-x)=-x*e^(-x)+∫e^(-x)dx=-(x*e^(-x)+e^(-x)) (0,∞)=1
其中lim(x→∞)x*e^(-x)=0
12、∫(1,∞)x^(-a)dx=1/(1-a)x^(1-a) (1,∞)=1/(a-1)

Answer 4

讨人人