Question

关于函数的数学题

已知函数f(x)=lnx-ax+1,a属于实数是常数,
（1）求函数y=f(x)的图像在点P（1，f(1))处的切线l的方程，并证明函数y=f(x)（x不等于1）的图像在直线L的下方；
（2）讨论函数y=f（x）零点的个数

Answer 1

1）函数f(1)=-a+1，f'(x）=1/x-a，∴f '(1)=1-a,y=f(x)在点P（1，f(1))处的切线l的方程为
y-(-a+1)=(1-a)(x-1),即 y=(1-a)x
求切线l与函数f(x)=lnx-ax+1的差，得到g(x)=(1-a)x,-(lnx-ax+1,)
g'(x)=(1-a),-1/x+a=1-1/x,,容易得到g'(1)=0，且x在(0,1) 时g'(x)<0，x在(1,∞) 时g'(x)>0，
∴g(x)在x=1时有最大值g(1)=0，即函数y=f(x)（x不等于1）的图像在直线L的下方
2）由f(x)=lnx-ax+1=0.得到 lnx=ax-1，而y=lnx 和y==ax-1的图像很容易，根据a的不同的值，
两图像可能交于两点，相切于一点，或不相交，相对应的是f(x)=lnx-ax+1的零点有2、1、0个。
这里做图和打字太麻烦，请自己做一下吧。

追问

我想问，第二问那里，要怎么分类讨论a的值呢？画图只是辅助，是不是还有别的方法来讨论a的值呢？ 谢谢

追答

我想，可求(lnx)'=1/x,，使1/x,=a ①，且lnx=,ax-1 ②，,这样在①②满足时，y=lnx在(x,lnx)的切线是y=ax-1，对其余的a≥0，y=ax-1在y>-1时，将位于那条切线两边。a<0,y=ax-1会与y=lnx交于一点。具体请自己作一作。
我已经好几年未弄数学分析了，打字也忒慢。但对数学和莘莘学子有感情，最近刚上“百度知道”，思路不一定好，希望为你们抛砖引玉吧。祝进步发展，鹏程万里！

Answer 2

我是这么想的
1） f '(x) =1/x-a 将（1，f(1)) 点分别代入 解出 f '(x) =1-a f(x)= -a+1 利用点斜式解出切线方程 之后的证明图像在下方的，只要证明切线方程永远大于等函数方程即可
2） 将函数变为 lnx=ax-1 令g=lnx ，h=ax-1 他们的交点个数就是零点个数 这里分类讨论（理由画图可以简单得出）
3） 具体能不能求我就不知道（高中数学忘记了）还请见谅

Answer 3

1.求导函数（可能要分类讨论）
2.特殊点法