Question

将抛物线y=x^2向下平移后,设它与x轴的两个交点分别为,A,B.且抛物线的顶点为c

1:若三角形ABC为等边三角形,求此抛物线解析式.2:若三角形ABC为等腰直角三角形,求此抛物线解析式.(要过程,最好不用三角函数)

Answer 1

1. 设抛物线y=x²向下平移a个单位(a > 0), 新抛物线的方程为y = x² - a = (x + √a)(x - √a)
顶点为C(0, -a)
y轴为对称轴，AC = BC
A(-√a, 0), B(√a, 0)
AB = 2√a
BC = AC = √[(√a - 0)² + (0 + a)²] = √(a + a²)
三角形ABC为等边三角形, AB = BC, 2√a = √(a + a²), a² = 3a
a = 0 (舍去)或a = 3
抛物线解析式: y = x² - 3

(2)y轴为对称轴，AC = BC, 若三角形ABC为等腰直角三角形，只需AC⊥BC即可。
AC的斜率m = (-a - 0)/(0 + √a) = -√a
BC的斜率n = (-a - 0)/(0 - √a) = √a
AC⊥BC, mn = -√a*√a = -1
抛物线解析式: y = x² - 1