Question

初三数学压轴题第四问， 第三问长方形-三角形时，三角形边长怎么算，第四问要过程，谢谢！

如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6. C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2. 点P从点A出发以每秒√2个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时停止运动，点Q也随之停止. 过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF. 以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC. 设运动时间为t（单位：秒）.
（1）求t=1时FC的长度.
（2）求MN=PF时t的值.
（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S于t的函数关系式.
（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值.

Answer 1

第三问：
因为 AB=√2*6 所以 0 ≤ t ≤ 6
因为 QC=2t ，MN=QC=2t ，
所以 △QMN 的高 h=t ，MN与OB距离 g= t
已知OC=2，那么M与OA的距离 d=2-t
因为AP=√2*t，所以 EP=t ，OE=FP=6-t
EP-d=2t-2，所以当t>1时，△QMN和矩形PEOF有重叠，
重叠部分为直角等腰三角形， 腰长=2t-2
当t=2时，P，Q重叠，M点在OA上，重叠部分为1/2△QMN
故 当1<t ≤2 时
S=(2t-2)^2/2=2(t-1)^2
当t>2时，点P在△QMN 中，点M在PEOF外，且QM与EP有交点
设 MN与OA交于R，与PF交于V，QM与OA，EP分别交于S，T
△QMN和矩形PEOF重叠部分面积=梯形TPVM - 三角形MSR
因为MR=t-2 ，所以 Smsr=(t-2)^2/2
因为 PV=PF-g=6-t-t=6-2t
ES=OE-OS=6-t-(g+MR)=8-3t
TP=EP-ES=t-(8-3t)=4t-8
MV=MR+EP=t-2+t=2t-2
所以 S=(TP+MV)*PV/2-Smsr=(4t-8+2t-2)*(6-2t)/2-(t-2)^2/2
= (-13t^2+60t-64)/2
当 t=8/3 时，E点与S点重合，
当 t ≥ 8/3 时，△QMN和矩形PEOF重叠部分是长方形
S=(OE-g)*EP=(6-t-t)*t=6t-2t^2
因为 FP-g=6-2t，所以当t>3时，△QMN和矩形PEOF没有重叠
综上，
S=2(t-1)^2 1<t ≤ 2
S=(-13t^2+60t-64)/2 2<t < 8/3
S=6t-2t^2 8/3 ≤t ≤3
第四问分析过程见上，
当t=2时，P，Q重叠，M点在OA上，FP与MN有一个交点，共有3个公共点
当t=8/3 时，E点与S点重合，MN与FEOP有2个交点，共有3个公共点
1< t < 2 时有2个交点
1< t < 8/3 时有4个交点
8/3<t<3 时有2 个交点