Question

如图21-1，在三角形ABC中，（1）分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE,ACFG.试说明1.CE=BG;2.CE垂直BG;

Answer 1

根据题意画图:

1)证明:连接CE、BG交与点I

因为：四边形ABDE与四边形ACFG均为正方形

则：  AC=AG  AB=AE  ∠EAB=∠GAC=90°

所以：∠BAC＋∠EAB=∠BAC＋∠CAG

即：  ∠EAC=∠BAG

所以：△EAC≌△BAG  (SAS)

所以：CE=BG

2)证明：∠AEC=∠ABG  ∠AGB=∠ACE

  因为：∠AEC＋∠ACE＋∠BAC＋∠EAB=180°

即：∠ABG＋∠ACE＋∠BAC=90°

在三角形AB中:∠ABC＋∠ACB＋∠BAC=180°

所以:   ∠ABG＋∠GBC＋∠ACE＋∠ECB＋∠BAC=180°

        ∠GBC＋∠ECB=90°

   即:  ∠BIC=90°

  所以:EC⊥BG

Answer 2

解：（1）①证法一
∵△ABD与△ACE均为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，
且∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△ABE≌△ADC．

证法二：
∵△ABD与△ACE均为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，
且∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到，
∴△ABE≌△ADC，
②120°，90°，72°．

（2）① 360°n．
②证法一：依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，
AB=AD，AE=AC，
∴∠BAD=∠CAE= (n-2)180°n，
∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
∴△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠ADC+∠ODA=180°，
∴∠ABO+∠ODA=180°，
∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360°，
∴∠BOC+∠DAB=180°，
∴∠BOC=180°-∠DAB= 180°-(n-2)180°n=360°n；

证法二：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠ABE=∠ADC，如图，延长BA交CO于F，
∵∠AFD+∠ABE+∠BOC=180°，∠AFD+∠ADC+∠DAF=180°，
∴∠BOC=∠DAF=180°-∠BAD= 360°n；

证法三：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠BOC=180°-（∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD），
∴∠BOC=180°-（∠ADC+∠ABC+∠ACB+∠ACD），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∠ADC+∠ACD=180°-∠DAC，
∴∠BOC=180°-（360°-∠BAC-∠DAC），
即∴∠BOC=180°-∠BAD= 360°n；

证法四：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠AEB=∠ACD．如图，连接CE，
∵∠BEC=∠BOC+∠OCE，
∴∠AEB+∠AEC=∠BOC+∠ACD-∠ACE，
∴∠BOC=∠AEC+∠ACE．
即∴∠BOC=180°-∠CAE= 360°n．