Question

如图，椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点为F（1,0）且过点（2，0). (1)求椭圆C的方程

（2）若AB为垂直于X轴的动弦，直线L：x=4与X轴交于N，直线AF与BN 交与点M
求证：点M恒在椭圆C上
求VAMN面积的最大值

Answer 1

解：a=2 c=1 b^2=4-1=3
椭圆方程：x^2/4+y^2/3=1
(2) N(4,0) F(1,0) A(x1,y1) B(x1,--y1) x1^2/4+y1^2/3=1 y1^2=3(4--x1^2)/4
直线差滚AF y/(x--1)=y1/(x1--1) 直线 BN y/(x--4)=--y1/(x1--4)
求交点M坐标： (x-4)/(x-1)=--(x1-4)/(x1-1)
x1x-x-4x1+4=--x1x+x1+4x--4 x=(5x1--8)/(2x1--5) y=y1(x-1)/(x1-1)=3y1/(2x1-5)
用交点M坐标 x=(5x1--8)/(2x1--5) y=3y1/(2x1-5) 代入椭圆方程
左边=[(5x1--8)/(2x1--5)]^2/4+[3y1/(2x1-5)]^2/3= 3(5x1-8)^2/虚隐余12(2x1-5)^2+36y1^2/12(2x1-5)^2
其中y1^2=3(4--x1^2)/4
左边=[75x1^2-240x1+192+108(4-x1^2)/4]/12(2x1-5)^2=[48x1^2--240x1+300]/12(2x1-5)^2
=[4x1^2-20x1+25]/(2x1-5)^2=1=右边 证明交点M在椭圆上
（3 ）三角形AMN面积携并： 三角形AMN面积=三角形AFN+三角形FNM=FN（y1+y）/2
三角形AMN面积=（4--1)[y1+3y1/(2x1-5)]=3y1[1+3/(2x1-5)]=3y1[2x1-2]/[2x1-5]= 待续