Question

函数y=2sin(π x＋φ)(其中0≤φ≤π/2，x属于R)的图像与y轴交与点（0,1）

1）求出该函数的单调减区间
2）设P是图像上的最高点，M,N是图像与x轴的交点，求向量MP与向量PN的夹角的正弦值。

Answer 1

（1） x=0时,y=1，代入函数表达式即2sinφ=1，又知道0≤φ≤π/2，所以φ=π/6
函数表达式为y=2sin(π x＋π/6)，再求这个函数的单调减区间，可以对它进行求导，
y'=2π cos(π x＋π/6)<0得到[2k+1/3,2k+4/3]即为减区间，k是整数
（2） 能求出M,N,P三点的坐标分别是（-1/6,0）（4/3,0）（1/3,2）,向量MP,PN的夹角设为a，则
cosa=向量MP乘以向量PN/MP的长度乘以PN的长度求出，则这个夹角的正弦值
sina=√1-cos^2a

追问

第2）问不大清楚，

追答

（2）由已知条件能求出M,N是图像与x轴的交点,它们的纵坐标是0，就是要求他们的横坐标，即求使2sin(π x＋π/6)=0的x，即π x＋π/6=kπ ＋π的x，且有这个图像可以知道是离y轴最近的两个交点，可求坐标分别是M(-1/6,0),N(5/6,0)。由P是图像上的最高点，即纵坐标是最大值2sin(π x＋π/6)=2的x，即π x＋π/6=2kπ ＋π/2的x，可求得P的坐标为(1/3,2)。
则向量MP=(1/2,2),向量PN=(1/2,-2)。设向量MP,PN的夹角设为a，则 cosa=(向量MP乘以向量PN)/(MP的长度乘以PN的长度)=[(1/2,2)乘以(1/2,-2)]/[(√(1/2)^2+2^2)(√(1/2)^2+(-2)^2)]=-15/17，则这个夹角的正弦值
sina=√1-cos^2a =8/17