Question

这道题是湛江2011年数学中考的最后一道题，我在网上找不到标准答案，特来求助

如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x

轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题。
分析：（1）由定点列式计算，从而得到b，c的值而得解析式；
（2）由解析式求解得到点A，得到AC，CD，AD的长度，而求证；
（3）由（2）得到的结论，进行代入，要使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是AB∥=EF，那么只需将M点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标，然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P点．
解答：解：（1）由题意得
，
解得：b=2，c=﹣3，
则解析式为：y=x2+2x﹣3；
（2）由题意结合图形
则解析式为：y=x2+2x﹣3，
解得x=1或x=﹣3，
由题意点A（﹣3，0），
∴AC=，
CD=，
AD=，
由AC2+CD2=AD2，
所以△ACD为直角三角形；
（3）由（2）知ME取最大值时ME=，E（，），M（， ），
∴MF=，BF=OB﹣OF=．
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM．
∴P1（0，）或P2（3，），
当P1（0，）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠，
∴P1不在抛物线上．
当P2（3，）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠，
∴P2不在抛物线上．
综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．

Answer 2

(1）代入点即可求得抛物线解析式y=x2+2x-3
(2)由各点间长度和勾股定理可得
(3) 假设存在，若以AB为边可得存在E（-1,12）F（3,12）；若以AB为对角线，有 E （-1 ,4 ），F（-1，-4）或E（-1 ,-4 ），F（-1，4）。
此题得解

Answer 3

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