Question

在△ABC中,sinA+sinB=4√6sinAsinB,C=60°,c=3,求△ABC面积

题目错了，对不起，是： 在△ABC中,sinA+sinB=2√6sinAsinB,C=60°,c=3,求△ABC面积

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Answer 1

有正弦定理得：
a/sinA=b/sinB=c/sinC
c/sinC=3/sin60°=3/(√3/2)=2√3
所以：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2√3
所以，sinA=a/(2√3)；sinB=b/(2√3)
sinA+sinB=2√6sinAsinB
两边同除以sinAsinB得：
1/sinB+1/sinA=2√6
2√3(1/b+1/a)=2√6
1/a+1/b=√2
(a+b)/ab=√2
a+b=√2ab
两边平方得：
a²+b²+2ab=2a²b²
a²+b²=2a²b²-2ab
由余弦定理得：
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
a²+b²-c²=2ab*cos60°
2a²b²-2ab-9=ab
2a²b²-3ab-9=0
(2ab+3)(ab-3)=0
ab=3
由三角形面积公式得：
△ABC面积=(1/2)absinC
=(1/2)*3*√3/2
=3√3/4

Answer 2

sinA=sinB=2√6sinAsinB
因为sinA=a/2R,sinB=b/2R,带入上式可约掉R
a+b=2√6ab
c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
9=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab
因为a+b=2√6ab
所以9=24ab-3ab=21ab
ab=3/7
S=absinC/2=3/7*√3/2*1/2=3√3/28

追问

a+b=2√6ab？2R=C/SIN60=3/(根号3/2)=2根号3
a+b=根号2(ab)吧

追答

对不起，一开始错了
应该是
sinA+sinB=2√6sinAsinB
a/2R+b/2R=2√6*a/2R*b/2R
(a+b)/2R=2√6*ab/4R^2 两边同乘2R
a+b=2√6ab/2R
2R=c/sinC=2√3
a+b=√2ab
c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
9=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab
因为a+b=√2ab
9=2ab-3ab
可是算出来ab为负值
童鞋你的题是不是打错了。。。应该是4√6sinAsinB吧。。。

追问

题目是sinA+sinB=2√6sinAsinB,
a+b=根号2(ab)
带入c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
可算出ab=3
所以么。。。。。