Question

高一数列题，高手来1(急求)

已知bn=2^n-1, a1=1, an=bn(1/b1+1/b2+....+1/bn-1) （注意最后一项中n-1为bn下脚标）
(1)证明:an+1/a(n+1)=bn/b(n+1) (此问中括号表示的为下脚标)
(2)求证：(1+1/a1)(1+1/a2).....(1+1/an)<10/3 (n∈n*)

或者给原题答案地址也行（第一问我省略了）

Answer 1

（1）证明：因为an=bn(1/b1+1/b2+....+1/bn-1) （n≥1）
所以a(n+1)=（bn+1）(1/b1+1/b2+....+1/bn) （n≥1）
所以（an+1）/a(n+1)=[bn(1/b1+1/b2+....+1/bn-1)+ 1]/（bn+1）(1/b1+1/b2+....+1/bn)
=[bn(1/b1+1/b2+....+1/bn-1+ 1/bn-1/bn)+1]/（bn+1）(1/b1+1/b2+....+1/bn)
=[bn(1/b1+1/b2+....+1/bn-1+ 1/bn)-1+1]/（bn+1）(1/b1+1/b2+....+1/bn)
=bn(1/b1+1/b2+....+1/bn-1+ 1/bn)/（bn+1）(1/b1+1/b2+....+1/bn)
=bn/b(n+1)
(2)证明：由（1）得an+1/a(n+1)=bn/b(n+1) ,因为bn=2^(n-1)
所以（an+1）/a(n+1)=2^(n-1)/2^n
=2^(n-1）/2x2^(n-1)
=1/2
所以(1+1/a1)(1+1/a2).....(1+1/an)=[(1+a1）/a1][(1+a2)/a2].....[(1+an)/an]
=[(1+a1)(1+a2)...(1+an)]/(a1a2...an)
=(1+an)/[a1x2^(n-1)]
又因为bn=2^（n-1）, a1=1，所以b1=1,所以原式=1+2^(n-1)(1/b1+1/b2+....+1/bn-1)/2^(n-1)
=1+(1/b1+1/b2+....+1/bn-1) (n∈n*)
= 1+[1/2^0+1/2^1+...+1/2^（n-2）]
=1+1x[1-(1/2)^n]/[1-(1/2)]
=3-(1/2)^(n-1) (n∈n*)
因为(1/2)^(n-1)>0 (n∈n*)
所以3-(1/2)^(n-1)<3<10/3 即(1+1/a1)(1+1/a2).....(1+1/an)<10/3

追问

完了，bn是2^n-1二的n次方减一而不是2^(n-1)二的n-1次方

追答

(2)证明：由（1）得an+1/a(n+1)=bn/b(n+1) ,因为bn=2^n-1
所以(1+1/a1)(1+1/a2).....(1+1/an)=[(1+a1）/a1][(1+a2)/a2].....[(1+an)/an]
=[(1+a1)(1+a2)...(1+an)]/(a1a2...an)
=(1+an)b1/a1xbn
又因为bn=2^n-1, a1=1，所以b1=1,所以原式={1+bn[1/b1+1/b2+....+1/b(n-1)]}/bn
= 1/bn+1/b1+1/b2+....+1/b(n-1)
=1/b1+1/b2+....+1/bn
=1+1/3+1/7+...+1/（2^n-1） (n∈n*)
因为n>2时，2^n-2^（n-1）-2^(n-2)=2^（n-1）-2^(n-2)=2^(n-2)>1,
所以2^n-1>2^（n-1）+2^(n-2)=3x2^(n-2),
所以1/[2^n-1]2）
所以1+1/3+1/7+1/15+…+1/（2^n-1）<1+1/3+1/6+1/12+...+1/[3*2^(n-2)]<10/3.
即(1+1/a1)(1+1/a2).....(1+1/an)<10/3

Answer 2

（1）当n=1时，a1=1,b1=1,b2=2,a2=2 不满足等式 (你想表示的bn=2^(n-1)是这个意思吗 )
当n>=2时，an/bn=1/b1+1/b2+....+1/bn-1代入an+1/bn+1=1/b1+1/b2+.....+1/bn-1+1/bn=an/bn+1/bn，变型为(an+1)/a(n+1)=bn/b(n+1) 得证

追问

完了，bn是2^n-1二的n次方减一而不是2^(n-1)二的n-1次方

追答

（1）当n=1时，a1=1,b1=1,b2=3,a2=3 不满足等式
当n>=2时，an/bn=1/b1+1/b2+....+1/bn-1代入an+1/bn+1=1/b1+1/b2+.....+1/bn-1+1/bn=an/bn+1/bn，变型为(an+1)/a(n+1)=bn/b(n+1) 得证
它还是不满足n=1的时候啊
（2）原式=(1+1/a1)(1+1/a2).....(1+1/an)=[(1+a1）/a1][(1+a2)/a2].....[(1+an)/an]
=[(1+a1)(1+a2)...(1+an)]/(a1a2...an)
=(1+an)b1/(a1*bn)=(1+an)bn=1/bn+1/b1+1/b2+...+1/b(n-1)=1/b1+.....+1/bn
设T=1/b1+1/b2+....+1/b(n-1)

Answer 3

高一的？？我怎么没学过？

追问

...所以叫高手来..

追答

我就是高手啊