Question

平行四边形ABCD中，AD=8，CD=4，角D=60°，点P与点Q是平行四边形ABCD。。。。。

Answer 1

解：（1）①当0＜t≤2时，如图1，过点B作BD⊥BC，交DC的延长线于点E，
∴∠BCE=∠D=60°
∴CE=4，由勾股定理得：BE=4
3
，
∴CP=t，S=
1
2
CP•BE=
1
2
×4
3
t=2
3
t
②当2＜t≤4时，如图2，CP=t，BQ=2t-4，
CQ=8-（2t-4）=12-2t；∠DCF=∠B=60°，
∵∠F=90°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=
1
2
t，由勾股定理得：PF=

3

2
t，
S=
1
2
CQ×PF=
1
2
×（12-2t）×

3

2
t，
即S=-

3

2
t2+3
3
t．

（2）过点P作PF⊥BC，交BC的延长线于F点，
∵∠PCF=∠D=60°，
∴PF=

3

2
t，
∴S△CPQ=-

3

2
t2+3
3
t=-

3

2
（t-3）2+
9
3

2
，
t=3时，S有最大值
9
2
3
．
综上，S的最大值为
9
2
3 ；

（3）当0＜t≤2时，△CPQ不是等腰三角形，所以不存在符合条件的菱形．
当2＜t≤4时，令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4．
∴当t=4时，△CPQ为等腰三角形，
即为△CPQ的一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形．