Question

如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成长方形零件PQMN，使长方形PQMN的

使长方形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上．
（Ⅰ）求这个长方形零件PQMN面积S的最大值；
（Ⅱ）在这个长方形零件PQMN面积最大时，能否将余下的材料△APN，△BPQ，△NMC剪下再拼成（不计接缝用料及损耗）与长方形PQMN大小一样的长方形？若能，试给出一种拼法；若不能，试说明理由．

Answer 1

（1）设PQ=x，根据相似三角形对应边成比例，得AE/AD=PN/BC

(80-x)/80=PN/120

PN=120-1.5x

长方形零件PQMN面积S=x(120-1.5x)=-1.5(x-40)平方+2400

当x=40时，面积最大，最大值=2400平方毫米.

（2）可以拼接.（答案我用图片说明，图中标的字母M、N换一下位。）

Answer 2

（1）证明：∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴
PN
BC
=
AE
AD
，
∵QM=PN=y，MN=ED=x，AE=80-x，
∴
y
120
=
80-x
80
，
∴y=120-
3
2
x．
（2）解：设矩形的面积为S，
则S=xy=x（120-
3
2
x）=-
3
2
x2+120x=-
3
2
（x-40）2+2400．
∴当x=40时，y=60，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．