Question

已知关于 x 的方程 sin^2x-kcosx-k^2+k=0 有解,试确定实数 k 的取值范围

Answer 1

纠正一下楼上“光翼de龙”的解答吧：
可化为
cos²x+kcosx+k²-k-1=0，
令t=cosx，
f(t)=t²+kt+k²-k-1=0在[-1,1]上有解，
注意到f(1)=k²，所以：
(1) k=0时，显然满足；
(2) k≠0时，须f(-1)=k²-2k≤0，得0<k≤2；
(3) k≠0，且f(-1)=k²-2k>0，即k<0或k>2时，须f(-k/2)=3k²/4 - k - 1≤0 （对称轴）
解得-2/3≤k<0。
综上，实数 k 的取值范围是[-2/3，2]。

Answer 2

解：由平方关系得sin²a=1-cos²a，故原方程可化为
（cosx）²+kcosx+k²-k-1=0
由题意可知b²-4ac≥0，即k²-4×1×（k²-k-1）≥0
解得 2≤k≤-2/3
∴实数 k 的取值范围是 2≤k≤-2/3。

Answer 3

可化为
cos²x+kcosx+k²-k-1=0
令t=cosx
f(t)=t²+kt+k²-k-1=0在[-1,1]上有解
注意到f(1)=k²≧0
所以f(-1)≦0
或f(-1)≧0，f(-k/2)≦0 （对称轴）
解得-2/3≦k≦0