Question

在△ABC中∠C=90°AC=BC，M是AB的中点P为AB上动点且不与AB重合PE⊥AC于点EPF⊥BC证明ME⊥MF

Answer 1

如图，连接CM。

由已知条件易知：AEP为直角等腰三角形，CEPF为矩形，故AE=EP=CF。

在△AEM和△CFM中：AE=CF、AM=CM、∠EAM=∠FCM=45°，故两者全等。

则知△AEM绕点M顺时针旋转90°后与△CFM重合。

故：ME⊥MF。

Answer 2

建立直角坐标系，使得C在原点O，A(0，2a)、B(2a，0)、M(a，a)，设：P(m，2a－m)，则：
E(0，2a－m)、F(m，0)，则：
EF²=m²＋(2a－m)²=4a²－4am＋2m²
ME²=a²＋(a－m)²=2a²－2am＋m²
MF²=(a－m)²＋a²=2a²－2am＋m²
因为：EF²=ME²＋MF²
则：∠EMF=90°，即：ME⊥MF