Question

第二型曲面积分问题

计算曲面积分∫∫xdxdy+ydxdz+zdxdy，∑是z=（x^2+y^2)^1/2在z=0和z=h之间的部分外侧。我想问的是这道题用分面投影法和用高斯公式做出的答案一样吗？书上用分面投影法得0，我自己用了一下高斯公式，得到的结果却不一样，请解答。

Answer 1

解：∵∑不是封闭曲面
∴曲面积分∫∫<∑>xdydz+ydxdz+zdxdy不能直接应用高斯公式
设S表示圆：z=√(x²+y²)，z=h
∵∑+S构成封闭曲面
∴∫∫<∑+S>xdydz+ydxdz+zdxdy=∫∫∫<V>(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz
(V是∑+S围成圆锥体，P=x，Q=y，R=z)
=3∫∫∫<V>dxdydz
=πh³
∵∫∫<∑+S>xdydz+ydxdz+zdxdy=∫∫<∑>xdydz+ydxdz+zdxdy+∫∫<S>xdydz+ydxdz+zdxdy
∴∫∫<∑>xdydz+ydxdz+zdxdy+∫∫<S>xdydz+ydxdz+zdxdy=πh³
∵∫∫<S>xdydz+ydxdz+zdxdy=∫∫<S>hdxdy
=h∫∫<S>dxdy
=πh³
∴∫∫<∑>xdydz+ydxdz+zdxdy+πh³=πh³
==>∫∫<∑>xdydz+ydxdz+zdxdy=0
故曲面积分∫∫<∑>xdydz+ydxdz+zdxdy=0。
说明：用分面投影法和用高斯公式做出的答案完全一样！