Question

任意三角形ABC,分别以AB,AC为斜边作等腰直角三角形ADB和AEC,F 为BC中点,连接DF,EF,求证 DF=EF

Answer 1

分别取AB、AC的中点为M、N。
∵AD⊥BD、AD＝BD、AM＝BM，∴DM＝AB/2、∠DMB＝90°。
∵AE⊥CE、AE＝CE、AN＝CN，∴NE＝AC/2、∠ENC＝90°。

∵M、F分别是AB、BC的中点，∴MF＝AC/2、MF∥AC，∴∠BMF＝∠BAC。
∵N、F分别是AC、BC的中点，∴FN＝AB/2、NF∥AB，∴∠CNF＝∠ABC。

由DM＝AB/2、FN＝AB/2，得：DM＝FN。
由MF＝AC/2、NE＝AC/2，得：MF＝NE。
由∠DMB＝∠ENC＝90°、∠BMF＝∠CNF＝∠ABC，得：∠DMB＋∠BMF＝∠ENC＋∠CNF，
∴∠DMF＝∠FNE。

由DM＝FN、MF＝NE、∠DMF＝∠FNE，得：△DMF≌△FNE，∴DF＝EF。

Answer 2

分别取AB、AC的中点为M、N。
∵AD⊥BD、AD＝BD、AM＝BM，∴DM＝AB/2、∠DMB＝90°。
∵AE⊥CE、AE＝CE、AN＝CN，∴NE＝AC/2、∠ENC＝90°。

∵M、F分别是AB、BC的中点，∴MF＝AC/2、MF∥AC，∴∠BMF＝∠BAC。
∵N、F分别是AC、BC的中点，∴FN＝AB/2、NF∥AB，∴∠CNF＝∠ABC。

由DM＝AB/2、FN＝AB/2，得：DM＝FN。
由MF＝AC/2、NE＝AC/2，得：MF＝NE。
由∠DMB＝∠ENC＝90°、∠BMF＝∠CNF＝∠ABC，得：∠DMB＋∠BMF＝∠ENC＋∠CNF，
∴∠DMF＝∠FNE。

由DM＝FN、MF＝NE、∠DMF＝∠FNE，得：△DMF≌△FNE，∴DF＝EF。