Question

谁能帮我解个微分方程,求过程谢谢!!

已知G M V1 X1是常数，|x|是位移x的模。求位移x与时间t的关系式。
打错了第一个式子,d2x/dt改成d2x/dt2
请看的人帮我分享下这道题,求高手解答!!!

Answer 1

解：设dx/dt=v，则d²x/dt²=dv/dt=(dv/dx)(dx/dt)=v(dv/dx)，代入原式得：
v(dv/dx)=-mgx/︱x︱³，当x>0时有v(dv/dx)=-mg/x²，即有vdv=-mgdx/x²，
积分之得v²/2=mg/x+C₁；用初始条件代入得C₁=v²₁/2-mg/x₁.
故v=dx/dt=√[2mg/x+2C₁)]
分离变量得dx/√[2mg/x+2C₁]=dt
∫(√x)dx/√(mg+C₁x)=(√2)dx
(暂停，待续)

追问

后面怎么是dx了dt跑到哪里去了??

追答

因为有事，急着离开，写错了：
分离变量得dx/√[(mg/x)+C₁]=(√2)dt
∫√[x/(mg+C₁x)]dx=(√2)∫dt，即有(1/√C₁)∫√[x/(mg/C₁+x)]=(√2)∫dt..............(1)
左边的积分套用公式：∫√[(a+x)/(b+x)]dx=√[(a+x)(b+x)]+(a-b)ln[√(a+x)+√(b+x)]+C
其中a=0，b=mg/C₁.
故由(1)得：
(1/√C₁){√[x(mg/C₁+x)]-(mg/C₁)ln[√x+√(mg/C₁+x)]}=(√2)t+C₂
即有√(mgx+C₁x²)-(1/√C₁)(mg/C₁)ln[√x+√(mg/C₁+x)]=(√2)t+C₂.............(2)
用t=0时x=x₁代入得C₂=√(mgx₁+C₁x²₁)-(1/√C₁)(mg/C₁)ln[√x₁+√(mg/C₁+x₁)]
把C₁，C₂代入(2)式即得原二阶微分方程的解。这个函数式子很麻烦！

追问

你没有考虑什么时候是
v=dx/dt=√[2mg/x+2C]
什么时候是
v=dx/dt=-√[2mg/x+2C]
所以代出来的关系式是不准确的
请再仔细分析下

追答

积分之得v²/2=mg/x+C₁；[用初始条件代入得C₁=v²₁/2-mg/x₁].
故v=dx/dt=√[2mg/x+2C₁)]，把C₁=v²₁/2-mg/x₁代进去会使后面的运算很麻烦，故没
有代入。什么时候是v=dx/dt=-√[2mg/x+2C]？？
v²/2=mg/x+C₁,故v²=2mg/x+2C₁，两边开方即得v=√[2mg/x+2C₁)]，由于v=dx/dt，故
dx/dt=√[2mg/x+2C₁)]，这是很自然的运算，还存在“什么时候”的问题吗？我不明白你
的问题是什么意思？

追问

[ 接上次追问 ] 速度V的方向 是由位移X的 变化量 为负值还是为正值 来确定的,你没有仔细考虑 “速度方向性”问题！在位移大于零的时候, 当位移的变化量为负值的时候，那么速度方向就与位移方向相反了，就要带上负号；反之就带上正号。
（我的上述给的C与你C1是一样的，只是这个1不好打出来，所以我用C来表示了）
而V的平方 开根 是有正负号的，这个速度V的正负号是由速度的方向来确定的。
上述中的"速度"是不恒为一个方向的!

追答

你是指根号前的符号问题？我知道有此问题，本想在解答后再作讨论，但因为积分常数太
烦人，故没再作了。我只给你解决了解方程的问题，至于积分常数和符号问题，请你自己
根据问题的物理意义自己解决，好吗?

追问

由于这个速度方向是周期性的，所以不好解决，求高手解答

追答

在你的原始方程里有︱x︱³；当x>0时方程为d²x/dt²+mg/x²=0；当x0)；得v=±√[2(mg/x)+2C₁]，这里又有正负号的选取问题；
为使运算简便我又只作了取正号的情况。
因此符号问题有四种情况，你就按四种情况分别求解吧！至于周期性，从方程看
不出来。你的原始问题是什么，我不清楚。所以我无法提供更多的参考意见。

Answer 2

没学过 等我学了再帮你解好吧~~

Answer 3

不会