Question

2011义乌数学中考16题

（2011浙江义乌，16，4分）如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B.
（1）写出点B的坐标 ▲ ；
（2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧部分上的一
个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于
C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点
P的坐标为 ▲ .

Answer 1

解：
抛物线：y=-x²+3x
对称轴为：x=3/2
直线：y=-2x
交点B坐标（3/2，-3)
(2) 另一直角边过C点与DC垂直，或过D点与DC垂直
设C点坐标为：（c，0） (c>0)
则D点坐标为：(0，2c)
DC的斜率为-2
则 PC的斜率为 1/2，并过C点, PC方程为：
y-0=1/2（x-c）
即y=x/2-c/2
与抛物线的交点为：
x/2-c/2=-x²+3x
2x²- 5 x-c=0
x=(5-√（25+8c))/4 < 0 在y轴左侧，舍去,
或 x=(5+√（25+8c))/4>0
y=(5+√（25+8c) -4c)/8
P点坐标为：（(5+√（25+8c))/4，(5+√（25+8c) -4c)/8）
|PC|：|DC|=|OD|：|OC| =2 或 |PC|：|DC|=|OC|：|OD|=1:2
|DC|=√5c
|PC|=√((((5+√（25+8c))/4-c)²+（(5+√（25+8c) -4c)/8）²）
=√5/2* (5+√（25+8c) -4c)/4
=√5 (5+√（25+8c) -4c)/8
由 |PC|=2|DC| 得 c=13/25, P(13/5， 27/50)
由 |PC|=|DC|/2 得 c=11/8， P(11/4， 16/11)

PD的斜率为 1/2，并过D点
y-2c=1/2（x-0）
即y=x/2+2c
与抛物线的交点为：
x/2+2c=-x²+3x
2x²-5x+4c=0
当25-32c=0时，即 c=25/32，PD与抛物线相切，有一个交点
当25-32c <0，即c > 25/32时，PD与抛物线无交点
当25-32c >0, 即 c < 25/32 时，PD与抛物线有两个交点，全在y轴右侧。
x=(5±√（25-32c))/4 > 0
y=(5±√（25-32c) + 16c)/8
P点坐标为：（(5±√（25-32c))/4， (5±√（25-32c) +16c)/8）
|PD|=√（((5±√（25-32c))/4)²+（(5±√（25-32c) +16c)/8-2c）²）
=√（((5±√（25-32c))/4)²+（(5±√（25-32c) )/8）²）
=√5((5±√（25-32c))/8
|DC|=√5c
由 |PD|=2|DC| 得 c=1/2, P1(1/2， 5/4), P2(2 ，2)
由 |PD|=|DC|/2 得 c=1/2 与上同
综上符合条件的P点的坐标有4个：
P(1/2， 5/4)、P(2 ，2)、P(13/5， 27/50)、P(11/4， 16/11)