如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B
如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x^2从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于P,顶点M到A点时停止移动。...
如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x^2从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于P,顶点M到A点时停止移动。
(1)设抛物线顶点M的横坐标为m
①用m的代数式表示点P的坐标 ②当m为何值时,线段PB最短
(2)当线段PB最短时,相应的抛物线上是否存在点Q,使△QMA的面积与△PMA的面积相等,若存在,请求出点Q的坐标 展开
(1)设抛物线顶点M的横坐标为m
①用m的代数式表示点P的坐标 ②当m为何值时,线段PB最短
(2)当线段PB最短时,相应的抛物线上是否存在点Q,使△QMA的面积与△PMA的面积相等,若存在,请求出点Q的坐标 展开
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(1)因为M在OA上,所以YM:XM=YA:OA=4:2=2,所以可以设M(m,2m)
以M为顶点的抛物线是y=x^2平移而来,所以可以设这个抛物线y=(x-m)^2+2m
代入x=2,得到y=YP=m^2-2m+4,P(2,m^2-2m+4)
求PB最短就是求YP最短,m^2-2m+4=(m-1)^2+3,所以m=1时PB最短
(2)此时抛物线方程为y=(x-1)^2+2=x^2-2x+3,不妨假设存在,QMA和PMA共用一条底边MA,所以要让他们面积相等,只需MA上的高相等,这样题设就变成过P或者P关于MA对称的P'作一条平行于AM的直线,如果这条直线与抛物线存在不同于P的交点,那么这个交点就是Q。此时M(1,2),P(2,3),MA斜率kMA=2,所以过P作MA平行线的直线方程就是(点斜式)y-3=2(x-2),即y=2x-1,代入抛物线方程y=x^2-2x+3,解得x=2,y=3,这个就是P点坐标,因此说明过P的平行于AM的直线只与抛物线相切于P,再无第二个交点。再看过P'平行于MA的直线,过P的平行MA直线是y=2x-1,直线MA是y=2x,显然过P'平行MA的直线是y=2x+1,将此直线方程与抛物线方程联立解得x=2+根号2,y=5+2倍根号2,或者x=2-根号2,y=5-2倍根号2,这两组数即为Q点的两组可能的坐标值。
以M为顶点的抛物线是y=x^2平移而来,所以可以设这个抛物线y=(x-m)^2+2m
代入x=2,得到y=YP=m^2-2m+4,P(2,m^2-2m+4)
求PB最短就是求YP最短,m^2-2m+4=(m-1)^2+3,所以m=1时PB最短
(2)此时抛物线方程为y=(x-1)^2+2=x^2-2x+3,不妨假设存在,QMA和PMA共用一条底边MA,所以要让他们面积相等,只需MA上的高相等,这样题设就变成过P或者P关于MA对称的P'作一条平行于AM的直线,如果这条直线与抛物线存在不同于P的交点,那么这个交点就是Q。此时M(1,2),P(2,3),MA斜率kMA=2,所以过P作MA平行线的直线方程就是(点斜式)y-3=2(x-2),即y=2x-1,代入抛物线方程y=x^2-2x+3,解得x=2,y=3,这个就是P点坐标,因此说明过P的平行于AM的直线只与抛物线相切于P,再无第二个交点。再看过P'平行于MA的直线,过P的平行MA直线是y=2x-1,直线MA是y=2x,显然过P'平行MA的直线是y=2x+1,将此直线方程与抛物线方程联立解得x=2+根号2,y=5+2倍根号2,或者x=2-根号2,y=5-2倍根号2,这两组数即为Q点的两组可能的坐标值。
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1)设抛物线顶点M的横坐标为m,则用m的代数式表示点P的坐标;当m为何值时,线段PB最短。
解:B(2,0),M(m,2m),抛物线方程变为y=(x-m)^2+2m,令x=2,得y=(2-m)^2+2m=m^2-2m+4,
∴P(2,m^2-2m+4),PB=m^2-2m+4=(m-1)^2+3,当m=1时PB最短。
2)当线段PB最短时,相应的抛物线上是否存在点Q,使⊿QMA的面积与⊿PMA的面积相等,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由
解:抛物线方程为y=(x-1)^2+2,M(1,2),P(2,3).
作MC⊥x轴于C,S△PMA=梯形AMCB的面积-梯形PMCB的面积=3-5/2=1/2.
设Q(x,(x-1)^2+2),作QD⊥x轴于D.
S△QMA=|梯形AMCB的面积+梯形QABD的面积-梯形QMCD的面积|
=|3+[6+(x-1)^2]*(x-2)/2-[4+(x-1)^2]*(x-1)/2|=|x^2-4x+3|/2,
S△QMA=S△PMA,即x^2-4v+3=土1,解得x=2(舍),x=2土√2。
∴Q(2+√2,5+2√2)或Q(2-√2,5-2√2)。
解:B(2,0),M(m,2m),抛物线方程变为y=(x-m)^2+2m,令x=2,得y=(2-m)^2+2m=m^2-2m+4,
∴P(2,m^2-2m+4),PB=m^2-2m+4=(m-1)^2+3,当m=1时PB最短。
2)当线段PB最短时,相应的抛物线上是否存在点Q,使⊿QMA的面积与⊿PMA的面积相等,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由
解:抛物线方程为y=(x-1)^2+2,M(1,2),P(2,3).
作MC⊥x轴于C,S△PMA=梯形AMCB的面积-梯形PMCB的面积=3-5/2=1/2.
设Q(x,(x-1)^2+2),作QD⊥x轴于D.
S△QMA=|梯形AMCB的面积+梯形QABD的面积-梯形QMCD的面积|
=|3+[6+(x-1)^2]*(x-2)/2-[4+(x-1)^2]*(x-1)/2|=|x^2-4x+3|/2,
S△QMA=S△PMA,即x^2-4v+3=土1,解得x=2(舍),x=2土√2。
∴Q(2+√2,5+2√2)或Q(2-√2,5-2√2)。
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