Question

如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B

如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA，抛物线y=x^2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于P，顶点M到A点时停止移动。
（1）设抛物线顶点M的横坐标为m
①用m的代数式表示点P的坐标 ②当m为何值时，线段PB最短
（2）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标

Answer 1

（1）因为M在OA上，所以YM:XM=YA:OA=4:2=2，所以可以设M(m,2m)
以M为顶点的抛物线是y=x^2平移而来，所以可以设这个抛物线y=(x-m)^2+2m
代入x=2，得到y=YP=m^2-2m+4,P(2,m^2-2m+4)
求PB最短就是求YP最短，m^2-2m+4=(m-1)^2+3，所以m=1时PB最短
（2）此时抛物线方程为y=(x-1)^2+2=x^2-2x+3，不妨假设存在，QMA和PMA共用一条底边MA，所以要让他们面积相等，只需MA上的高相等，这样题设就变成过P或者P关于MA对称的P'作一条平行于AM的直线，如果这条直线与抛物线存在不同于P的交点，那么这个交点就是Q。此时M(1,2),P(2,3),MA斜率kMA=2，所以过P作MA平行线的直线方程就是（点斜式）y-3=2(x-2)，即y=2x-1，代入抛物线方程y=x^2-2x+3，解得x=2，y=3，这个就是P点坐标，因此说明过P的平行于AM的直线只与抛物线相切于P，再无第二个交点。再看过P'平行于MA的直线，过P的平行MA直线是y=2x-1,直线MA是y=2x，显然过P'平行MA的直线是y=2x+1，将此直线方程与抛物线方程联立解得x=2+根号2，y=5+2倍根号2，或者x=2-根号2，y=5-2倍根号2，这两组数即为Q点的两组可能的坐标值。

Answer 2

1）设抛物线顶点M的横坐标为m，则用m的代数式表示点P的坐标；当m为何值时，线段PB最短。

解：B(2,0),M(m,2m),抛物线方程变为y=(x-m)^2+2m,令x=2,得y=(2-m)^2+2m=m^2-2m+4,

∴P(2,m^2-2m+4),PB=m^2-2m+4=(m-1)^2+3,当m=1时PB最短。

2）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使⊿QMA的面积与⊿PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

解：抛物线方程为y=(x-1)^2+2,M(1,2)，P(2,3).

作MC⊥x轴于C,S△PMA=梯形AMCB的面积-梯形PMCB的面积=3-5/2=1/2.

设Q(x,(x-1)^2+2),作QD⊥x轴于D.

S△QMA=|梯形AMCB的面积+梯形QABD的面积-梯形QMCD的面积|

=|3+[6+(x-1)^2]*(x-2)/2-[4+(x-1)^2]*(x-1)/2|=|x^2-4x+3|/2,

S△QMA=S△PMA,即x^2-4v+3=土1，解得x=2(舍)，x=2土√2。

∴Q(2+√2，5+2√2)或Q(2-√2，5-2√2)。