数学问题 极值 数论
一个命题 那么设ax=n 使x^a最大
即若干相等的数加起来为一个定值 那么要使它们的积最大 这个数是多少 有什么规律？
比如这个定值为n=6 就是求x^(6/x)最大值 此时这个值算出来约是9.09092
那么 假设n可以整除任何x 即视为n=∞ 求x的值
或者告诉我有什么规律 展开
先明确你的问题：
第一：根据 “求x^(6/x)最大值 此时这个值算出来约是9.09092 ” ，可知 x 的取值范围是 “正实数”，或者是区间：(0, 6]。
第二：你 “假设n可以整除任何x 即视为n=+∞” ，我想你的意思是 “任何 x 都可以整除 n ” 。
那么这里就有两个问题了：
1、整除只涉及整数，这与 “第一" 中所述矛盾；
2、“任何 x 都可以整除 n ” 确实意味着 “n=+∞ ”。可是，当“n=∞ ” 时，无论 x 取什么（应该在正整数范围内），x^(n/x) 的值都是 “+∞”——因为此时 n/x = +∞。这样一来，问题就没意义了。
所以，我根据你的描述，大胆重新定义了一下题目：
n 为任意正整数，x ∈ (0, +∞)，求函数 f(x) = x^(n/x) 的规律，是否有最大值？如果有，最大值是什么？
这样一来，问题清楚了，解决起来也简单了。显然，n 取不同值时，结果也不同。但是由不同 n 形成的一组函数，应该具有相似的规律。所以分析时，应该把 n “暂时” 看做常数。
像 f(x) 这样（底数和指数都含变量）的函数，称作 “幂指函数”。f(x) 在其定义域上是连续的。所以一般情况下 “最值问题” 可以用 “导数” 进行解决。结果如下：
f′(x) = n·x^(n/x - 2)·[1 - ln(x)]
当 x = e （自然对数的底，应该知道吧！）时，f′(x) = 0；此时 f(x) 取极大值。分析可知，此极大值也就是 f(x) 的最大值。
所以结论就是：无论 n 取何种正整数，x^(n/x) 的最大值总是在 x = e 时取得。当然，具体的最大值就和 n 有关了。 为方便你理解，我把f(x)的函数图像画了一下。图中，从下向上，分别是 n = 1、n = 2、… n = 8 时的情况。
但作为数论题，应该是拆成整数吧。
如果只考虑整数，先考虑将X（>=4）分为两个数a b相乘的最大值。
X＝3：任何拆分后乘积小于3
X=4: 最大2*2＝4
X＝5：最大是2*3>5
X＝6：最大是3*3>6
X=2K （设K>=2）:(K+r)(K-r)<=K^2=K*K>2K
X=2K+1 (设K>＝2): (K+0.5+r)(K+0.5-r)=(K+0.5)^2-r^2, 考虑整数时，r最小取0.5得积最大是K(K+1)>=2(K+1)>2K+1
因此将N拆成A1+A2+。。。+An=N, 使积S＝A1*A2*。。。*An最大的一种方案是：2<=Ai<＝3（不考虑4, 因为4可以拆成2*2），最多有2个2（因为2*2*2<3*3）
即将N尽量拆成3,余数凑出1个2或者2个2。
